Để chứng minh rằng:

\[ A = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \cdots + \frac{1}{5^{2023}} + \frac{1}{5^{2024}} < \frac{1}{4} \]

Ta nhận thấy đây là một chuỗi hình học với công bội \( r = \frac{1}{5} \) và số hạng đầu là \( a = \frac{1}{5} \).

Tổng của chuỗi hình học hữu hạn có thể được tính theo công thức:

\[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r} \]

Ở đây, \( n = 2024 \), \( a = \frac{1}{5} \), và \( r = \frac{1}{5} \), ta có:

\[ S_{2024} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{2024}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \frac{1}{5^{2024}}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{5^{2024}}\right) \]

Vì \( \frac{1}{5^{2024}} \) là một số rất nhỏ và dương, nên:

\[ \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{5^{2024}}\right) < \frac{1}{4} \]

Do đó, \( S_{2024} < \frac{1}{4} \).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( A < \frac{1}{4} \).