Chúng ta sẽ giải lần lượt từng câu hỏi trong hình này.

### Câu 31

#### a) \(\lim \left(n - \sqrt{n^2 + 2n - 3}\right)\)

Biến đổi biểu thức dưới dấu giới hạn:

\[
n - \sqrt{n^2 + 2n - 3} = \frac{(n - \sqrt{n^2 + 2n - 3})(n + \sqrt{n^2 + 2n - 3})}{n + \sqrt{n^2 + 2n - 3}}
\]

Lúc đó, biểu thức trở thành:

\[
= \frac{n^2 - (n^2 + 2n - 3)}{n + \sqrt{n^2 + 2n - 3}} = \frac{-2n + 3}{n + \sqrt{n^2 + 2n - 3}}
\]

Chia tử và mẫu cho \(n\):

\[
= \frac{-2 + \frac{3}{n}}{1 + \sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^2}}}
\]

Khi \(n \to \infty\):

\[
\lim = \frac{-2 + 0}{1 + \sqrt{1 + 0 - 0}} = \frac{-2}{1 + 1} = -1
\]

#### b) \(\lim \sqrt{n^2 + 2n - 1} - n + 1\)

Sử dụng cách tiếp cận tương tự như phần a:

\[
\sqrt{n^2 + 2n - 1} - n + 1 = \frac{(\sqrt{n^2 + 2n - 1} - n)(\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n)}{\sqrt{n^2 + 2n - 1} + n}
\]

Biểu thức trở thành:

\[
= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}} + 1}
\]

Khi \(n \to \infty\):

\[
\lim = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\]

### Câu 32

\(\lim \frac{\sqrt{4n^2 + 2n - n + 1}}{\sqrt{9n^2 + n - 2n}}\)

Biến đổi biểu thức:

Chia tử và mẫu cho \(n\):

\[
= \frac{\sqrt{4 + \frac{2}{n} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{n} - \frac{2}{n}}}
\]

Khi \(n \to \infty\):

\[
\lim = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}
\]

Như vậy, các giới hạn là:
- Câu 31a: \(-1\)
- Câu 31b: \(\frac{1}{2}\)
- Câu 32: \(\frac{2}{3}\)