Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f\left(\sqrt{1-x^2}\right) = \sin\left(\sqrt{1-x^2}\right) \), ta cần xác định miền giá trị có thể có của \( \sqrt{1-x^2} \).

1. Điều kiện xác định:
\[
\sqrt{1-x^2} \le 1 \quad \text{và} \quad \sqrt{1-x^2} \ge 0
\]
Điều này dẫn đến \( 1-x^2 \ge 0 \), nghĩa là \( -1 \le x \le 1 \).

2. Hàm số \( g(t) = \sin(t) \) có giá trị lớn nhất là 1 khi \( t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) (với \( k \) là số nguyên).

3. Từ điều kiện trên, giá trị \( t = \sqrt{1-x^2} \) chỉ có thể đạt đến giá trị tối đa là 1 (khi \( x = 0 \)).

Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là:
\[ \sin(1) \]

Do đó, đáp án đúng là \( \sin 1 \).
Vì vậy, lựa chọn đúng là C.