Để giải các phương trình lượng giác trên, ta xử lý từng phần như sau:

a) Phương trình \(\sin 3x = \frac{1}{2}\):

Giá trị \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(3x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(3x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

Giải ra:
\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]
hoặc:
\[ x = \frac{5\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \]

b) Phương trình \(\cos 2x = -\frac{1}{2}\):

Giá trị \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\) khi \(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi\).

Giải ra:
\[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
hoặc:
\[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \]

c) Phương trình \(\tan \frac{x}{3} = 2\):

Giá trị \(\tan \theta = 2\) khi \(\theta = \arctan(2) + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(\frac{x}{3} = \arctan(2) + k\pi\).

Giải ra:
\[ x = 3\arctan(2) + 3k\pi \]

d) Phương trình \(\cot \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}\):

Giá trị \(\cot \theta = \sqrt{3}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{6} + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy \(2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + k\pi\).

Giải ra:
\[ 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + k\pi \]
\[ 2x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \]
\[ x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \]

Lưu ý: \(k \in \mathbb{Z}\) trong tất cả các công thức trên.