Để tìm giá trị của \(x\) sao cho độ dài vectơ \(|\vec{MA} + \vec{GC}|\) đạt giá trị nhỏ nhất, trước tiên ta phân tích các thông tin đã cho:

1. \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Do đó, \(G\) chia mỗi đường trung tuyến trong tỷ lệ \(1:2\).
2. \(\overline{BH} = \frac{1}{3} \overline{HC}\), điều này nghĩa là \(H\) chia đoạn \(BC\) theo tỷ lệ \(1:3\).
3. Điểm \(M\) nằm trên \(BC\) với \(\overline{BM} = x \cdot \overline{BC}\).

Bây giờ, để \(|\vec{MA} + \vec{GC}|\) nhỏ nhất, ta phân tích vectơ \(\vec{GC}\).
- Vì \(G\) là trọng tâm, nên ta có \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\).
- Suy ra \(\vec{GC} = -(\vec{GA} + \vec{GB})\).

Ta xét \(\vec{MA}\) và \(\vec{GC}\):

\[
\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M}, \quad \vec{GC} = \vec{C} - \vec{G}
\]

Để \(|\vec{MA} + \vec{GC}|\) nhỏ nhất, \(\vec{M}\) cần thỏa mãn một điều kiện nào đó với \(A\), \(G\), \(B\), \(C\).

Vì \(G\) là trọng tâm, ta có:

- Đặt \(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 3\vec{G}\)
- Suy ta \(\vec{G}\) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các điểm \(A\), \(B\), \(C\).

Khi \(|\vec{MA} + \vec{GC}|\) đạt giá trị nhỏ nhất:

Ta phải xét:
\[
|\vec{MA} + \vec{GC}| = |\vec{A} - \vec{M} + \vec{C} - \vec{G}|
\]

Chúng ta cần tính toán để tìm giá trị của \(x\) sao cho biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất.

Do cách lượng giác và vật lý vector có thể được áp dụng, giá trị tối thiểu xảy ra khi \(M\) là điểm chính giữa của đoạn \(BC\). Tức là:

\[
BM = MC \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}
\]

Do đó, giá trị cần tìm là \(x = \frac{1}{2}\).