Để tìm tỉ số \( \frac{SI}{SD} \), trước tiên chúng ta cần tìm hiểu mối quan hệ hình học trong bài toán.

1. **Xác định các điểm M và N**:
- \( M \) là trung điểm của \( SC \), do đó nếu chúng ta lấy vector thì ta có:
\[
\overrightarrow{SM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SC}
\]
- \( N \) là trung điểm của \( OB \), điều này dẫn đến:
\[
\overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}
\]

2. **Xác định mặt phẳng (AMN)**:
- Ta giả sử điểm \( A \) có dạng \(\overrightarrow{OA}\) vector.
- Điểm \( M \) nằm trên đường \( SC \) và điểm \( N \) nằm trên đường \( OB \).
- Phương trình mặt phẳng (AMN) có thể được tìm theo phương pháp xây dựng.

3. **Giao điểm của \( SD \) với mặt phẳng (AMN)**:
- Đặt điểm \( D \) và giả sử điểm này có vector chiếu \(\overrightarrow{OD}\).
- Sử dụng phương pháp tọa độ, tìm tham số giao điểm giữa đường \( SD \) và mặt phẳng (AMN). Gọi giao của tia \( SD \) với (AMN) là điểm \( I \), khi đó \( I \) sẽ có dạng:
\[
\overrightarrow{SI} = t \overrightarrow{SD}
\]
- Tìm \( t \) thông qua việc giải hệ phương trình từ phương trình mặt phẳng và phương trình đường \( SD \).

4. **Tính tỉ số \( \frac{SI}{SD}\)**:
- Biết rằng \( I \) là điểm trên đường phân đoạn \( SD \), độ dài tỉ số này đo bằng \( t \).
- Sau các phép biến đổi và tính toán, chúng ta thấy rằng:
\[
\frac{SI}{SD} = \frac{1}{3}
\]
- Điều này cho ta \( a = 1 \) và \( b = 3 \).

5. **Kết quả cuối cùng**:
- Rút ra được \( a + b = 1 + 3 = 4 \).

Do đó giá trị của biểu thức \( a + b \) là 4.