Cho ánh xạ

Để giải quyết bài toán trên, ta làm như sau:

a) **Chứng minh \( f \) là biến đổi tuyến tính:**

Một ánh xạ \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) được gọi là tuyến tính nếu:

1. \( f(u + v) = f(u) + f(v) \) với mọi \( u, v \in \mathbb{R}^2 \).
2. \( f(cu) = c f(u) \) với mọi \( u \in \mathbb{R}^2 \) và \( c \in \mathbb{R} \).

Ta có \( f(x, y) = (x + 2y, 2x + y) \).

Đặt \( u = (x_1, y_1) \) và \( v = (x_2, y_2) \).

1. \( f(u + v) = f(x_1 + x_2, y_1 + y_2) = (x_1 + x_2 + 2(y_1 + y_2), 2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)) \).
\[
= (x_1 + 2y_1 + x_2 + 2y_2, 2x_1 + y_1 + 2x_2 + y_2) = f(u) + f(v).
\]

2. \( f(cu) = f(cx_1, cy_1) = (cx_1 + 2cy_1, 2cx_1 + cy_1) \).
\[
= c(x_1 + 2y_1, 2x_1 + y_1) = c f(u).
\]

Vậy \( f \) là biến đổi tuyến tính.

b) **Tìm ma trận của \( f \) trong cơ sở chính tắc của \( \mathbb{R}^2 \):**

Ta tính \( f \) trên hai vector cơ sở chính tắc \( (1, 0) \) và \( (0, 1) \):

- \( f(1, 0) = (1 + 0, 2 \cdot 1 + 0) = (1, 2) \).
- \( f(0, 1) = (0 + 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 1) = (2, 1) \).

Do đó, ma trận của \( f \) là:
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
\]

c) **Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng của \( f \):**

Ta giải phương trình đặc trưng \( \det(A - \lambda I) = 0 \), với \( I \) là ma trận đơn vị:
\[
\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0
\]

Giải phương trình:
\[
\lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0
\]
\[
(\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0
\]
Do đó, giá trị riêng là \( \lambda_1 = 3 \) và \( \lambda_2 = -1 \).

Véctơ riêng tìm được từ hệ:
- Với \( \lambda_1 = 3 \): \((A - 3I)v = 0\),
\[
\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Tương đương với \( x = y \). Một véctơ riêng tương ứng là \( v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \).

- Với \( \lambda_2 = -1 \): \((A + I)v = 0\),
\[
\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
Tương đương với \( x = -y \). Một véctơ riêng tương ứng là \( v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \).

d) **Viết ma trận của \( f \) trong cơ sở gồm các véctơ riêng:**

Chuyển cơ sở từ \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \) đến cơ sở chéo hóa, ma trận \( D \) là:
\[
D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\]

Vậy ma trận của \( f \) trong cơ sở các véctơ riêng là \( D \).