Để giải phương trình \(\frac{2x+1}{x+1} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x(x+1)}\), ta làm như sau:

**Bước 1: Tìm mẫu số chung**

Mẫu số chung của các phân thức là \(x(x+1)\).

**Bước 2: Quy đồng mẫu số**

\[
\frac{2x+1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{(2x+1)x}{x(x+1)}
\]
\[
\frac{2}{x} = \frac{2}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)}
\]

**Bước 3: Viết lại phương trình**

\[
\frac{(2x+1)x}{x(x+1)} + \frac{2(x+1)}{x(x+1)} = \frac{2}{x(x+1)}
\]

**Bước 4: Ghép các phân số có cùng mẫu số**

\[
\frac{(2x^2 + x) + (2x + 2)}{x(x+1)} = \frac{2}{x(x+1)}
\]

\[
\frac{2x^2 + 3x + 2}{x(x+1)} = \frac{2}{x(x+1)}
\]

**Bước 5: Bỏ mẫu số**

Ta có:

\[
2x^2 + 3x + 2 = 2
\]

**Bước 6: Giải phương trình bậc hai**

Trừ 2 cả hai vế:

\[
2x^2 + 3x = 0
\]

Rút gọn:

\[
x(2x + 3) = 0
\]

Vậy \(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\).

Với \(2x + 3 = 0\):

\[
2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}
\]

**Bước 7: Kiểm tra điều kiện xác định**

- Với \(x = 0\): Không được vì mẫu số chứa \(x\).
- Với \(x = -\frac{3}{2}\): Thoả mãn điều kiện xác định vì không làm mẫu số bằng 0.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = -\frac{3}{2}\).