Bài tập toán

Mình có thể giúp giải các đề từ ảnh. Dưới đây là bản transcribe gần đúng và lời giải ngắn cho từng câu (theo cách hiểu phổ biến cho bài tập vector/ hình học trong tứ giác và hình vuông).

Câu 13. (0,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có I, J là trung điểm của AB và CD. Chứng minh AD + BC = 2IJ (vật lý vector, bằng nhau về hướng và độ dài).

- Ghi nhận: I = (A + B)/2, J = (C + D)/2, nên IJ = J − I = (C + D − A − B)/2.
- Do đó 2IJ = C + D − A − B = (D − A) + (C − B) = AD + BC (vật vector).

Vậy AD + BC = 2IJ đúng (theo cùng hướng và độ dài).

Câu 14. (0,5 điểm x 4) Cho hình ABCD với E, F lần lượt là midpoints của AB và CD. Gọi G là trung điểm của EF. Chứng minh:
a) GA + GB + GC + GD = 0.
b) AD + BC = 2EF.
c) OA + OB + OC + OD = 4 OG.
(Giả sử O là gốc toạ độ và A,B,C,D,E,F,G là vector vị trí tương ứng.)

Giải nhanh:
- G là trung điểm của EF và E = (A + B)/2, F = (C + D)/2 nên G = (E + F)/2 = (A + B + C + D)/4. Vì thế G là centroid của A,B,C,D.
- a) GA + GB + GC + GD = (A − G) + (B − G) + (C − G) + (D − G) = (A+B+C+D) − 4G = 0.
- b) EF = F − E = (C + D − A − B)/2. Do đó 2EF = C + D − A − B = (D − A) + (C − B) = AD + BC (dưới dạng vectơ).
- c) OA + OB + OC + OD = A + B + C + D. Và OG = G = (A+B+C+D)/4 nên 4OG = A+B+C+D. Hai bên bằng nhau.

Câu 15. (0,5 điểm x 2)
Cho hình vuông ABCD cạnh 1.
a) Tính |AC + AB|.
b) Tính |MA + MB + MC − MD| với M là một điểm tùy ý.

Giải:
a) Đặt A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). Vectors:
- AC = C − A = (1,1), AB = B − A = (1,0).
- AC + AB = (2,1). Độ dài = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5).
Vậy |AC + AB| = sqrt(5).

b) Dùng phương pháp vectơ với A,B,C,D là các vector vị trí, M là vị trí của M.
MA = A − M, MB = B − M, MC = C − M, MD = D − M.
S = MA + MB + MC − MD
= (A − M) + (B − M) + (C − M) − (D − M)
= (A + B + C − D) − 2M.

Đối với hình vuông có AB và CD bằng nhau, song song, ta có thể viết B = A + AB và D = A + AD, C = A + AB + AD. Khi đó:
A + B + C − D = 2A + 2AB = 2B.
Vì thế S = 2B − 2M = 2(B − M) = 2 MB.

Nên |MA + MB + MC − MD| = 2 |MB|, tức bằng 2 khoảng cách từ M đến B.

Nếu bạn muốn, mình có thể giải chi tiết hơn bằng cách dùng toạ độ cho mọi trường hợp, hoặc viết lại bằng cách dùng AB và AD làm vector cơ sở (không nhất thiết phải đặt A ở gốc).

Bạn muốn mình giải chi tiết thêm cho bất kỳ câu nào khác hoặc làm rõ thêm cách làm? Bạn có thể cho biết đúng phần mình bị rối hoặc chỗ bạn cần bước giải viết ra rõ hơn (ví dụ: câu 13 hay 14 với đầy đủ từng bước)?