A B M O D E H I

Dữ kiện: Circle (O; R) với R = 5 cm, M cách O một đoạn OM = 10 cm. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới vòng tròn tại A, B. Đường thẳng MCD là một cát tuyến (MD cắt vòng tại C và D, C nằm giữa M và D, và đường thẳng không đi qua O). E là trung điểm của CD. MO cắt AB tại H.

a) Chứng minh M, A, E, O, B cùng nằm trên một đường tròn
- Ta có OA ⟂ MA và OB ⟂ MB, nên ∠MAO = ∠MBO = 90°. Do đó A và B nằm trên đường tròn đường kính MO (vì mọi điểm P nằm trên đường tròn có MO là đường kính thì ∠MPO = 90°).
- Còn E là trung điểm của CD, và C, D nằm trên đường thẳng MD. Vì E là trung điểm của CD nên OE ⟂ CD, và CD là đường đi qua M, do đó ME là phần của MD. Vì EO ⟂ ME nên ∠MEO = 90°.
- Vậy cả M, A, E, O, B đều thuộc đường tròn đường kính MO. Nói cách khác, năm điểm này cùng nằm trên một đường tròn có MO làm đường kính.

b) Biết OE = 3 cm tính DE
- Trong vòng tròn bán kính R = 5, với OE là độ dời từ O đến đường chord CD, ta có EC = sqrt(R^2 − OE^2) = sqrt(25 − 9) = 4.
- Vì E là trung điểm của CD, nên DE = CE = 4 cm.

c) Chứng minh OM là trung trực (của AB)
- Hai tiếp tuyến từ M tới vòng tròn có tính chất đối xứng qua MO: MA và MB là hình ảnh của nhau khi phản xạ qua đường thẳng MO. Do đó A và B đối xứng qua MO; AB vuông góc với MO và H (giao của MO với AB) là trung điểm của AB. Vậy OM là đường thẳng trung trực của AB.

d) Tính OH × OM + MC × MD
- MC × MD được xác định từ quyền của M đối với vòng tròn: MC × MD = MA^2 = OM^2 − R^2 = 10^2 − 5^2 = 100 − 25 = 75.
- OH × OM được tính từ khoảng cách từ O tới đường AB. Đường AB là chord của contact của M, và có độ dài khoảng cách từ O tới AB bằng R^2 / OM. Vì AB vuông góc với OM, nên OH = R^2 / OM = 25 / 10 = 2.5 cm. Do đó OH × OM = 2.5 × 10 = 25.
- Vậy OH × OM + MC × MD = 25 + 75 = 100 = OM^2.

Kết luận:
a) M,A,E,O,B cùng nằm trên một đường tròn có MO làm đường kính.
b) DE = 4 cm.
c) OM là trung trực của AB.
d) OH × OM + MC × MD = 100 (cm^2).