Để chứng minh các yêu cầu của đề bài, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác AEBI là hình chữ nhật.

1. **Xét định nghĩa**: Tứ giác AEBI sẽ là hình chữ nhật nếu nó có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, hoặc nếu tất cả bốn góc của tứ giác đều bằng 90 độ.

2. **Các điểm và đường cao**:
- Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên đoạn BC. Do tam giác ABC cân tại B nên \( BI \) là đường cao đồng thời là trung tuyến.
- Ta có \( M \) là trung điểm của đoạn \( AB \).

3. **Điểm E**:
- Vì E là điểm đối xứng với I qua M, nên theo tính chất của điểm đối xứng, ta có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad ME = MI
\]
- Do đó, \( AE = IB \).

4. **Xét độ dài**:
- Do \( BI \) là đường cao nên có \( \angle ABI = \angle ABE = 90^\circ \).
- Từ đó suy ra rằng \( \angle AEB = 90^\circ \).

5. **Tóm tắt**:
- Ta đã đưa ra được các yếu tố cần thiết cho tứ giác AEBI để nó có thể là hình chữ nhật: hai cặp cạnh đối diện bằng nhau (AB = EI và BE = AI), và góc AEB = 90 độ.

Vậy, tứ giác AEBI là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh EI // BC.

1. **Xét các bình diện liên quan**:
- Bởi vì tứ giác AEBI là hình chữ nhật nên các cạnh đối diện EI và AB là song song. Do đó,

\[
EI \parallel AB.
\]

2. **Xét tam giác ABC**:
- Trong tam giác ABC cân tại B, ta có K là trung điểm của BC. Từ đó suy ra rằng, BC sẽ vuông góc với đường cao BI.

3. **Xét về độ dốc**:
- Tương tự, từ hình chữ nhật AEBI, ta có rằng các đường thẳng EI và AB tự nhiên song song.

4. **Kết hợp**:
- Xét các góc: Vì EI và AB song song và BI (góc vuông tại I) cũng như độ cao BI cắt góc ABE bằng 90 độ, nên:

\[
EI \parallel BC.
\]

### Kết luận:

Vậy qua các phân tích trên:

- **Tứ giác AEBI là một hình chữ nhật**.
- **Đường thẳng EI song song với BC**.

Bài toán đã được chứng minh hoàn chỉnh.