Bài 30
M = x^3 - 3xy(x-y) - y^3 - x^2 + 2xy - y^2
    = (x-y)(x^2 + xy + y^2) - 3xy(x-y) - (x-y)^2
    = (x-y)(x^2 + xy + y^2 - 3xy - x + y)
    = (x-y)(x^2 - 2xy + y^2 - x + y)
    = (x-y)[(x-y)^2 - (x-y)]
    = (x-y)^2.(x-y-1)
mà x-y = 7
=> M = 7^2.(7-1)
         = 49.6
         = 294
Vậy với x-y = 7 thì M = 294

Câu 23
ta có a+b+c=0=>(a+b+c)^2=0
=>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0
=>1+2(ab+bc+ac)=0(vì a^2+b^2+c^2=1)
=>ab+bc+cd=-1/2
=>(ab+bc+cd)^2=1/4
=>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=1/4
=>a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2abc(a+b+c)=1/4
=>a^2b^2 +a^2c^2+b^2c^2=1/4(vì a+b+c=0)*
mặt khác a^2+b^2+c^2=1(gt)
=>(a^2+b^2+c^2)^2=1
=>a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=1
=>a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=1
=>a^4+b^4+c^4+2.1/4=1(theo *)
=>a^4+b^4+c^4=1- 1/2=1/2(dpcm)

Bài 28
a, A = 11 - 10x - x^2
       = -(x^2 + 10x + 25) + 11 + 25
       = -(x+5)^2 + 36 ≤ 36
Dấu "=" xảy ra <=> x+5 = 0
                      <=> x = -5
Vậy Max A = 36 <=> x = -5
b, B = lx-4l(2-l-x4l)
       = 2lx-4l - lx-4l^2
       = -(lx-4l^2 - 2lx-4l + 1) - 1
       = (lx-4l-1)^2 - 1 ≤ -1
Dấu "=" xảy ra <=> lx-4l-1 = 0
                      <=> lx-4l = 1
                      <=> x-4 = 1
                             x-4 = -1
                      <=> x = 5
                             x = 3
Vậy Max B = -1 <=> x = 3 hoặc x = 5

Bài 27
a, A = x^2 + 3x + 7
       = x^2 + 3x + 9/4 + 7 - 9/4
       = (x+3/2)^2 + 19/4 ≥ 19/4
Dấu "=" xảy ra <=> x+3/2 = 0
                      <=> x = -3/2
Vậy Min A = 19/4 <=> x = -3/2
b, B = (x-2)(x-5)(x^2 - 7x - 10) 
       = (x^2 - 7x + 10)(x^2 - 7x - 10)
Đặt x^2 - 7x = y ta có:
B = (y+10)(y-10)
   = y^2 - 100
   = (x^2 - 7x)^2 - 100 ≥ -100
Dấu "=" xảy ra <=> x^2 - 7x = 0
                      <=> x(x-7) = 0
                      <=> x = 0
                             x = 7
Vậy Min B = -100 <=> x = 0 hoặc x = 7          

Bài 25
a) x^4 + x^2 + 2
= ( x^4 + x^2 + 1/4 ) + 7/4
= ( x^2 + 1/2 )^2 + 7/4 > 0
b) ( x + 3 ).( x - 11 ) + 2003
= x^2 - 8x - 33 + 2003
= x^2 - 8x + 1970
= ( x^2 - 8x + 16 ) + 1954
= ( x - 4 )^2 + 1954 > 0
Bài 26
a) - 9x^2 + 12x - 15
= - ( 9x^2 - 12x + 4 ) - 11
= - ( 3x - 2 )^2 - 11 < 0
b) -5 - ( x - 1 ).( x + 2 )
= - 5 - ( x^2 + x - 2 )
= -5 - x^2 - x + 2
= - ( x^2 + x + 1/4 ) -11/4
= ( x + 1/2 )^2 - 11/4 < 0

Bài 26
a, -9x^2 + 12x - 15
= -(9x^2 - 12x + 4) - 15 + 4
= -(3x-2)^2 - 11
VÌ -(3x-2)^2 ≤ 0 với mọi x
        -11 < 0
= -(3x-2)^2 - 11 < 0 với mọi x
=> -9x^2 + 12x - 15 < 0 với mọi x
b, -5 - (x-1)(x+2)
= -5 - x^2 - x + 2
= -x^2 - x - 3
= -(x^2 + x + 1/4) - 3 + 1/4
= -(x+1/2)^2 - 11/4
Vì -(x+1/2)^2 < 0 với mọi x
     -11/4 < 0
=> -(x+1/2)^2 - 11/4 < 0 với mọi x
=> -5 - (x-1)(x+2) < 0 với mọi x

Bài 24
Có : Q = ( a + b + c + 1 )^2
            = a^2 + b^2 + c^2 + 1 + 2ab + 2ac + 2a + 2bc + 2b + 2c  
            = ( a^2 + 2a + 1 ) + ( b^2  + 2b + 1 ) + ( c^2 + 2c + 1 ) + 2.( ab + bc + ac )
            = ( a + 1 )^2 + ( b + 1 )^2 + ( c + 1 )^2 + 2.( ab + bc + ac )
=> P = Q
=> p - Q = 0
Bài 28
a) A = 11 - 10x - x^2
        = - ( x^2 + 10x + 25 ) + 36
        = - ( x  + 5 )^2 + 36 ≤ 36
Vậy GTLN của A = 36 <=> x = - 5
Bài 30 Cách khác nhanh hơn
a) M = x^3 - 3xy.( x - y ) - y^3 - x^2 + 2xy - y^2
         = [  x^3 - 3xy.( x - y ) - y^3 ] - ( x^2 - 2xy + y^2 )
         = ( x - y )^3 - ( x - y )^2
Với x - y = 7
=> M = 7^3 - 7^2
          = 294
Vậy M = 294

Bài 29
a, A = 2x^2 + 9y^2 - 6xy - 6x - 12y + 2004
       = x^2 + 9y^2 - 6xy - 12y + 4x + x^2 - 10x + 25 + 2004 - 25
       = (x-y+2)^2 + (x+5)^2 + 1979 ≥ 1979
Dấu "=" xảy ra <=> x-y+2 = 0
                             x+5 = 0
                      <=> y = x-2
                             x = -5
                      <=> y = -5-2 = -7 
                             x = -5
Vậy Min A = 1979 <=> x = -5 và y = -7
b, B = -x^2 + 2xy - 4y^2 + 2x + 10y - 8
       = -(x^2 + y^2 + 1 - 2xy + 2x - 2y) - 3y^2 + 12y - 12 - 8 + 12
       = -(x-y+1)^2 - 3(y-2)^2 + 4 ≤ 4
Dấu "=" xảy ra <=> x-y+1 = 0
                             y-2 = 0
                      <=> x = -y-1
                             y = 2
                      <=> x = -2-1 = -3
Vậy Max B = 4 <=> x = -3 và y = 2

25)
a) x^4 +x^2 + 2 > 0
<=> x^4 + x^2 + 1/4 + 7/4 >0
<=> (x^4 + x^2 + 1/4) > -7/4
<=> (x^2 + 1/2)^2 > -7/4 với mọi x
vậy biểu thức luôn dương với mọi x thuộc R
b) (x + 3)(x - 11) +2003 > 0
<=> x^2 - 8x - 33 + 2003 >0
<=> x^2 - 8x + 1970 > 0
<=> x^2 - 8x + 16 + 1954 > 0
<=> (x^2 - 8x + 16) > -1954
<=> (x - 4)^2 > -1954 với mọi x
vậy biểu thức luôn dương với mọi x thuộc R

26)
a) -9x^2 + 12x - 15 < 0
<=> 9x^2 - 12x + 15 > 0
<=> 9x^2 - 12x + 4 + 11 > 0
<=> (9x^2 - 12x +4) + 11 > 0
<=> (3x - 2)^2 >-11 với mọi x
vậy biểu thức luôn âm với mọi x thuộc R
b) -5 - (x - 1)(x + 2) < 0
<=> x^2 + x - 2 + 5 > 0
<=> x^2 +x + 3 > 0
<=> x^2 + x + 1/4 + 11/4 > 0
<=> (x + 1/2)^2 > -11/4 với mọi x
vậy biểu thức luôn âm với mọi x thuộc R

Bài 22
Có (5x-3y+4z)(5x-3y-4z)
= (5x-3y)^2 - 16z^2
= 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16z^2 (1)
Có x^2 - y^2 - z^2 = 0
=> x^2 - y^2 = z^2 (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16.(x^2 - y^2)
= 25x^2 - 30xy + 9y^2 - 16x^2 + 16y^2
= 9x^2 - 30xy + 25y^2
= (3x-5y)^2 (đpcm)
Vậy chứng tỏ với x^2 - y^2 - z^2 = 0 thì (5x-3y+4z)(5x-3y-4z) = (3x-5y)^2

Bài 21
Có (a+b+c+d)(a-b-c+d) = (a-b+c-d)(a+b-c-d)
<=> (a+d)^2 - (b+c)^2 = (a-d)^2 - (b-c)^2
<=> a^2 + 2ad + d^2 - b^2 - 2bc - c^2 = a^2 - 2ad + d^2 - b^2 + 2bc - c^2
<=> a^2 + d^2 - b^2 - c^2 - a^2 - d^2 + b^2 + c^2 + 2ad - 2bc = -2ad + 2bc
<=> 2ad - 2bc = -2ad + 2bc
<=> 2ad + 2ad = 2bc + 2bc
<=> 4ad = 4bc
<=> ad/bc = 4/4
<=> ad/bc = 1
<=> ad = bc
<=> a/c = b/d (đpcm)
Vậy với (a+b+c+d)(a-b-c+d) = (a-b+c-d)(a+b-c-d) thì a/c = b/d