Ta cần tìm đa thức bậc bốn f(x)f(x) sao cho f(x)−f(x−1)=x3f(x)−f(x−1)=x3 (11)
Giả sử f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)
Thay vào (11) ta được:
ax4+bx3+cx2+dx+e−[a(x−1)4+b(x−1)3+c(x−1)2+d(x−1)+e]=x3ax4+bx3+cx2+dx+e−[a(x−1)4+b(x−1)3+c(x−1)2+d(x−1)+e]=x3
⇔ax4+bx3+cx2+dx+e−(ax4−4ax3+6ax2−4ax+a+bx3−3bx2+3bx−b+cx2−2cx+c+dx−d+e)=x3⇔ax4+bx3+cx2+dx+e−(ax4−4ax3+6ax2−4ax+a+bx3−3bx2+3bx−b+cx2−2cx+c+dx−d+e)=x3
⇔4ax3+(−6a+3b)x2+(4a−3b+2c)x−a+b−c+d=x3⇔4ax3+(−6a+3b)x2+(4a−3b+2c)x−a+b−c+d=x3
⇔⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩4a=1−6a+3b=04a−3b+2c=0−a+b−c+d=0⇔{4a=1−6a+3b=04a−3b+2c=0−a+b−c+d=0
⇔⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩a=14b=12c=14d=0⇔{a=14b=12c=14d=0
Do đó: f(x)=14x4+12x3+14x2+e(e∈R)f(x)=14x4+12x3+14x2+e(e∈R) (22)
Cho x=1;2;3;...;nx=1;2;3;...;n lần lượt thay vào (11), rồi cộng vế theo vế và áp dụng (22) ta được:
13+23+...+n3=f(n)−f(0)=14n4+12n3+14n2=(n(n+1)2)213+23+...+n3=f(n)−f(0)=14n4+12n3+14n2=(n(n+1)2)2
Vậy 13+23+...+n3=(n(n+1)2)213+23+...+n3=(n(n+1)2)2