a. Tứ giác AMDN có góc BAC = 90°(gt) hay góc MAN = 90°
                                 góc AMD = 90° (vì DM vuông góc với AB tại M)
                                 góc DNA = 90° (vì DN vuông góc với AC tại N)
=> AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)
b. Tam giác ABC vuông tại A có:
                 AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền(vì D là trung điểm trên cạnh huyền BC)
=> AD=DC
Tam giác ACD có
Từ hai điều trên => Tam giác ACD cân tại D
Tam giác ACD có DN ⊥ AC (gt)  => DN là đường cao
Từ hai điều trên => DN là đường trung tuyến
=> N là trung điểm AC
Tứ giác ACDK có: DK và AC là 2 đường chéo(vẽ hình sẽ thấy)
                              DK cắt AC tại N (vì N đều thuộc 2 đường chéo DK và AC)
                              AN = NC (vì N là trung điểm AC); DN=NK (vì D đối xứng K qua N)
=> Hình bình hành ACDK 
Có DN a. Tứ giác AMDN có góc BAC = 90°(gt) hay góc MAN = 90°
                                 góc AMD = 90° (vì DM vuông góc với AB tại M)
                                 góc DNA = 90° (vì DN vuông góc với AC tại N)
=> AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)
b. Tam giác ABC vuông tại A có:
                 AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền(vì D là trung điểm trên cạnh huyền BC)
=> AD=DC
Tam giác ACD có
Từ hai điều trên => Tam giác ACD cân tại D
Tam giác ACD có DN ⊥ AC => DN là đường cao
Từ hai điều trên => DN là đường trung tuyến => N là trung điểm AC
Tứ giác ACDK có DK và AC là 2 đường chéo
                             DK cắt AC tại N (vì N thuộc 2 đoạn thẳng DK và AC)
                             AN = NC (Vì N là trung điểm AC); DN=NK(vì D đối xứng K qua N)
=> Hình bình hành ACDK 
Có DN a. Tứ giác AMDN có góc BAC = 90°(gt) hay góc MAN = 90°
                                 góc AMD = 90° (vì DM vuông góc với AB tại M)
                                 góc DNA = 90° (vì DN vuông góc với AC tại N)
=> AMDN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)
b. Tam giác ABC vuông tại A có:
                 AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền(vì D là trung điểm trên cạnh huyền BC)
=> AD=DC
Tam giác ACD có
Từ hai điều trên => Tam giác ACD cân tại D
Tam giác ACD có DN ⊥ AC
Từ hai điều trên => Đường trung tuyến DN => N là trung điểm AC
Tứ giác ACDK có: DK và AC là 2 đường chéo
                              DK cắt AC tại N(vì N đều thuộc 2 đoạn thẳng DK và AC)
                              AN = NC (N là trung điểm AC); DN= NK (vì D đối xứng K qua N)
=> Hình bình hành ACDK 
Có DN ⊥ AC ( gt) hay DK ⊥ AC 
Từ hai điều trên => Hình thoi ACDK
c. Để hình thoi ACDK là hình vuông 
thì góc ADC = 90° 
Khi đó, AD ⊥BC => AD là đường cao 
Tam giác ABC có AD là đường trung tuyến(gt)
Từ hai điều trên=> AD là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 
=> Tam giác ABC cân tại A
Vậy khi tam giác ABC có thêm điều kiện là cân tại A thì ACDK là hình vuông.