Giả sử căn bậc bậc hai của 7 là số hữu tỉ, như vậy căn bậc hai của 7 có thể viết được dưới dạng phân số tối giản m/n tức là căn bậc hai của 7=m/n. Suy ra 7=m^2/n^2 hay 7n^2=m^2 (1). Đẳng thức (1) chứng tỏ m^2=49k^2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7 n^2=49k^2 nên n^2=7k^2 (3). Từ (3) ta lại có n^2 chia hết cho 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n chia hết cho 7 nên phân số m/n khoong tối giản , trái giả thiết .Vậy căn bậc hai của 7 không phải là số hữu tỉ, đó đó căn bậc hai của 7 là số vô tỉ

giả sử √7 là số hữu tỉ
=> √7 = a/b (a,b ∈ Z ; b ≠ 0)
không mất tính tổng quát giả sử (a;b) = 1
=> 7 = a²/b²
<=> a² = b7²
=> a² ⋮ 7
7 nguyên tố
=> a ⋮ 7
=> a² ⋮ 49
=> 7b² ⋮ 49
=> b² ⋮ 7
=> b ⋮ 7
=> (a;b) ≠ 1 (trái với giả sử)
=> giả sử sai
=> √7 là số vô tỉ