A) Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao=> AH đồng thời là đường Trung tuyến=> H là trung điểm của BC.
Xét tam giác ABC có: MA=MB(gt); NA=NC(gt)=> MN là đường trung bình của tam giác ABC
                                                                          => MN//BC; MN=1/2BC
                                                                          => MN//BH(H thuộc BC); MN=BH(H là trung điểm của BC)
Xét tứ giác BMNH có MN//BH; MN=BH(cmt)
=> BMNH là hbh.
Xét tam giác AHC vuộng tại H có HN là đường trung tuyến nên HN=AN=1/2AC(1)
Xét tam giác AHB vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên HM=AM=1/2AB(2)
Lại có: AM=1/2AB(M là trung điểm của AB); AN=1/2AC(N là trung điểm của AC)
mà AB=AC(tam giác ABC cân tại A)
nên AM=AN(3) 
Từ (1), (2) và (3)=> AM=HM=AN=HN
Xét tứ giác AMHN có AM=HM=AN=HN(cmt)=> AMHN là hình thoi.
b) Theo câu a, ta có AMHN là hình thoi=> AM=AN=> tam giác AMN cân tại A
Ta có: OH vuông góc với BC(AH vuông góc với BC; O thuộc AH); MN//BC(MN là đường trung bình của tam giác ABC)=> OH vuông góc với MN
Xét tam giác cân AMN có AO là đường cao(OH vuông góc với MN)=> OH đồng thời là đường trung tuyến.
                                                                                                           => O là trung điểm của MN
Xét tam giác BMO và tam giác PNO có
MO=NO(cmt)
góc BOM= góc PON (đối đỉnh)
 góc BMO=góc PNO(BM//PN(BM//HN; P thuộc HN); so le trong)
=> tam giác BMO= tam giác PNO(g.c.g)
=> BO=PO(2 cạnh tương ứng)
Xét tứ giác BMPN có  BO=PO(cmt); MO=NO(cmt)=>BMPN là hbh=> BN=MP
 c) Có BM=PN(BMPN là hbh)
mà BM=HN(BMNH là hbh.)
nên PN=HN
Xét tứ giác APCH cóPN=HN(cmt); NA=NC(gt)=> APCH là hbh
                                                                       LẠi có: góc AHC =90(AH vuông góc với BC)
                                                                         nên APCH là hcn
d) Dễ lắm bạn ạ tự nghĩ chút ik bạn yêu nhoa!!! Ko nghĩ dc thì chat online với mình chỉ cho.