1. Xét tứ giác ANBD có EN = ED ; EA = EB

=> Tứ giác ANBD là hình bình hành

2.a) Để hình bình hành ANBD là hình chữ nhật thì ADBˆ=90o

Xét ΔABC

có AD là trung tuyến ; AD là đường cao

=> ΔABC

cân tại A

Vậy ΔABC

cân tại A thì tứ giác ANBD là hình chữ nhật

b) Để hình bình hành ANBD là hình thoi thì AB⊥ND

Có ED // AC (theo tính chất đường trung bình ) ; AB⊥ND⇒AC⊥AB

=> ΔABC

vuông tại A

Vậy để tứ giác ANBD là hình thoi thì ΔABC

vuông tại A

c) Để hình bình hành ANBD là hình vuông thì tứ giác ANBD vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

=> ΔABC

vuông cân tại A

Vậy ΔABC

vuông cân tại A thì tứ giác ANBD là hình vuông

3. Có AN // DB => AN // CD

AN = DB (vì tứ giác ANBD là hình bình hành ) mà BD = DC => AN = DC

=> Tứ giác ANDC là hình bình hành

mà M là giáo điểm của AD và NC

=> NM = MC

Xét ΔNDC

có EN = ED ; MN = MC

=> EM là đường trung bình

=> EM = 12DC(1)

mà DC=BD=12BC

(2)

=> EM=2BC

a) Ta có: MB = MC (giả thiết)

DA = DB (Giả thiết)

⇒ DM là đường trung bình của Δ ABC

⇒ DM//AC

Mặt khác ABC vuông tại A

⇒ AC ⊥ AB ⇒ DM ⊥ AB ⇒ DE ⊥ AB (*)

E là điểm đối xứng với M qua D ⇒ DM = DE (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: Điểm E đối xứng với M qua AB

b) Ta có AB ⊥ EM và DE = DM, DA = DB

⇒ Tứ giác AEBM là hình thoi

⇒ AE//BM mà BM = MC ⇒ AE//MC và AE = MC

⇒ tứ giác AEMC là hình bình hàng

c) Ta có BC = 4 (cm) ⇒ BM = BC/2 = 2(cm)

Chu vi hình thoi ABEM là P = 4BM = 8 (cm)

d) Hình thoi AEBM là hình vuông khi góc ∠AMB = 900

⇒ AM ⊥ BC

Mặt khác: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC

Suy ra: Δ ABC vuông cân tại A

Điều kiện: Δ ABC vuông cân tại A