Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O)

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc
nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường trong
(M;MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C, D là các tiếp
điểm khác H).
a) Chứng minh: C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng AC + BD không đổi.
c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh: OH.OI không đổi. 
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A, B vẽ hai tiếp tuyến
Ax, By với nửa đường tròn. Từ M là điểm trên nửa đường tròn (O) (M không
là điểm chính giữa cung AB) vẽ tiếp tuyến lần lượt cắt Ax, By tại điểm C, D.
a) Chứng tỏ AC + BD = CD
b) Chứng minh tam giác COD vuông
c) Tia BM cắt Ax tại P, tia AM cắt By tại Q. Chứng minh ba đường thẳng
AB, CD, PQ đồng quy.
Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa
đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a) Chứng minh rằng: MC = MD
b) Chứng minh rằng AD + BC có giá trị không đổi khi điểm M di động trên
nửa đường tròn.
c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng
AD, BC và AB
d) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) để cho diện tích tứ giác
ABCD lớn nhất.
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By
(Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là
một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ
tự ở C, D.
a) Chứng minh đường trong đường kính CD tiếp xúc AB.
b) Gọi E là giao điểm của BC và AD. ME cắt AB tại H
c) Chứng minh: E là trung điểm của đoạn MH
d) Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất
e) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB=4cm