a) Tam giác ABC cân tại A nênˆB=ˆCB^=C^ . (tính chất)

Xét ΔBECΔBEC và ΔCDBΔCDB có:

ˆE=ˆD=90∘(gt)ˆB=ˆC  (cmt)BC  chungE^=D^=90∘(gt)B^=C^  (cmt)BC  chung ⇒ΔBEC=ΔCDB⇒ΔBEC=ΔCDB (cạnh huyền – góc nhọn),

⇒BD=CE⇒BD=CE (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC cân tại A nênAB=ACAB=AC (tính chất)

Ta có ΔBEC=ΔCDBΔBEC=ΔCDB (cmt),

⇒BE=CD⇒BE=CD (hai cạnh tương ứng).

⇒AB−BE=AC−CD⇒AE=AD⇒ΔAED⇒AB−BE=AC−CD⇒AE=AD⇒ΔAED cân tại A. (dhnb)

c) Xét ΔAEIΔAEI và ΔADIΔADI có:

ˆAEI=ˆADI=90∘(gt)AE=AD (cmt)AI chungAEI^=ADI^=90∘(gt)AE=AD (cmt)AI chung

⇒ ΔAEI=ΔADI⇒ ΔAEI=ΔADI (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

⇒ˆEAI=ˆDAI⇒EAI^=DAI^ (hai góc tương ứng).

Hay AI là phân giác của góc BAC.

Xét ΔBAKΔBAK và ΔCAKΔCAK có:

ˆB=ˆC (cmt)AB=AC (cmt)AK chungB^=C^ (cmt)AB=AC (cmt)AK chung

⇒ ΔBAK=ΔCAK⇒ ΔBAK=ΔCAK (cạnh – góc - cạnh)

⇒ˆAKB=ˆAKC⇒AKB^=AKC^ ( hai góc tương ứng)

Mà ˆAKB;ˆ AKCAKB^; AKC^ là hai góc kề bù nên

ˆAKB=ˆAKC=90∘⇒AK⊥BCAKB^=AKC^=90∘⇒AK⊥BC

. Mà I thuộc AK nên AI⊥BCAI⊥BC . (đpcm)