(Bạn tự vẽ hình nha)
1) a) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:
BD/DC=AB/AC=2/3
Theo tính chất tỉ lệ thức ta có:
BD/2=DC/3=(BD+DC)/(2+3)=10/5=2
=> BD= 4cm ; DC= 6cm 
b) Vẽ đcao AH của tam giác ABC
Ta có: S của tam giác ABD = 1/2.BD.AH
          S của tam giác ADC = 1/2.DC.AH
Vì BD=2/3.DC => S của tam giác ABD = 2/3. S của tam giác ADC
=> S của tam giác ADC = 3/2. S của tam giác ABD
=> S của tam giác ADC = 3/2.45= 67.5 cm2
2) Ta có: BC= BD+DC=15+20=35cm 
Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác 
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: 
AB/AC=BD/DC=15/20=3/4
<=> AB/3=AC/4 <=> (AB^2)/9 = (AC^2)/12 = (AB^2 + AC^2)/(9+16) = 1225/25= 49 
<=> AB= 21cm; AC= 28cm
3) Ta có: AB=AC=10cm 
Theo định lí Pytago ta có: AB^2 +AC^2 = BC^2
<=> 10^2 + 10^2 = 200(cm)
<=> BC = căn bậc 2 của 200 tương đương 14.1 cm 
Theo định lí đường phân giác trong tam giác ta có: AB/BC = AD/DC
<=> AD/DC= 100/141 <=> AD/100 = DC/141= (AD+DC)/(100+141)= 10/241
=> AD tương đương 4.1 cm ; DC tương đương 5.9 cm 
4) 

a. Trong tam giác ABC, ta có:

AD là đường phân giác của góc BAC

Suy ra: DB/DC=AB/AC  (tính chất tia phân giác)

Suy ra: DB/(DB+DC)=AB/(AB+AC)
Suy ra: DB/BC=AB/(AB+AC)

Suy ra: DB=(BC.AB)(AB+AC)=(28.12)(12+20)=21/2=10,5 (cm)

Vậy DC = BC – DB = 28 – 10,5 = 17,5 (cm)

Trong tam giác ABC, ta có: DE // AB

Suy ra: DC/DB=DE/AB (định lí Ta-lét )

Vậy: DE=(DC.AB)/BC=(17,5.12)/28=7,5 (cm)

b. Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

(S của ABD)/(S của ABC)=DB/BC=(21/2)/28=21/56=3/8

Vậy : S của ABD=3/8 S của ABC 

=> S của ADC = S của ABC - S của ABD= 5/8 S của ABC

Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE.
Ta có: (S của ADE)/(S của ADC) = AE/AC = DE/AC= 7.5/20 
Vậy S của ADE = 7.5/20  nhân với S của ADC = 7.5/20 nhân với 5/8. S của ABC = 7.5/32. S của ABC
Ta có: S của DCE = S của ADC - S của ADE= 5/8.S của ABC - 7.5/32 nhân với S của ABC = 12.5/32 nhân với S của ABC