Vì CD ⊥ AB => ∠CAB = 90o

Mà ∠CAB = 1/2 Sđ BC => Sđ BC = 180o

Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng.

Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng.

a) Trong (O) ta có: ∠CAF = ∠CBF (góc nội tiếp cùng chắn cung CF )

Trong (O’) ta có: ∠DAE = ∠DBE (góc nội tiếp cùng chắn cung DE )

Mà ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh)

Suy ra: ∠CAF = ∠DAE .

b) Nối CF và DE ta có: ∠CFB = 90o (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn (O))

∠BED = 90 o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’))

Xét ΔCFB và ΔDEB có:

∠CDB = ∠BED = 90o

∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh)

=> ∠FCB = ∠EDB

Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội tiếp (O) cùng chắn cung FB )

∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung EB )

Suy ra: ∠FAB = ∠EAB hay AB là phân giác của góc ∠EAF .

c) Xét ΔCAE và ΔCBD có: ∠C chung

∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp (O’) cùng chắn cung AB)

=> ΔCAE ∼ ΔCBD (g.g)

=> CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE (1)

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF

⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF

⇔ CD2 = CB.CE + DB.DF