a. Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD

Ta có: AB = CD (gt)

Suy ra : OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Vậy OI là tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

b. Xét hai tam giác OIH và OIK, ta có :

∠(OHI) = ∠(OKI) = 90o

OI chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔOIH = ΔOIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: IH = IK (1)

Lại có: HA = HB = (1/2).AB

KC = KD = (1/2).CD

Mà AB = CD nên HA = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IA = IC

Mà AB = CD nên IB = ID

Kẻ OK ⊥ CD ⇒ CK = DK = (1/2).CD

Kẻ OH ⊥ AB ⇒ AH = BH = (1/2).AB

Vì AB // CD nên H, O, K thẳng hàng

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OBH ta có:

OB2 = BH2 + OH2

Suy ra: OH2 = OB2 – BH2 = 252 – 202= 225

OH = 15 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ODK ta có:

OD2 = DK2 + OD2

Suy ra: OK2 = OD2 – DK2 = 252 – 242 = 49

OK = 7 (cm)

* Trường hợp O nằm giữa hai dây AB và CD (hình a):

HK = OH + OK = 15 + 7 = 22 (cm)

* Trường hợp O nằm ngoài hai dây AB và CD (hình b):

HK = OH – OK = 15 – 7 = 8 (cm)

a. Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ AN

Ta có: AM = AN (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

∠(OHC) = ∠(OKC) = 90o

OC chung

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔOIH = ΔOIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

∠O1 = ∠O2

Xét hai tam giác OAH và OBH, ta có:

∠(OHA) = ∠(OHB) = 90o

OA = OB

OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔOAH = ΔOBH (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 

b. Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao (tính chất tam giác cân)

Suy ra: OC ⊥ AB

a. Dây đi qua M ngắn nhất là dây AB vuông góc với OM

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OAM ta có:

OA2 = AM2 + OM2

Suy ra: AM2 = OA2 – OM2 = 52 – 32 = 16

AM = 4 (dm)

Ta có: OM ⊥ AB

Suy ra: AM = (1/2).AB

Hay: AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm)

b. Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 (dm)

a. Ta có: HA = HB (gt)

Suy ra : OH ⊥ AB (đường kính dây cung)

Lại có : KC = KD (gt)

Suy ra : OK ⊥ CD (đường kính dây cung)

Mà AB > CD (gt)

Nên OK > OH (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OHM ta có :

OM2 = OH2 + HM2

Suy ra : HM2 = OM2 – OH2 (1)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông OKM ta có:

OM2 = OK2 + KM2

Suy ra: KM2 = OM2 – OK2 (2)

Mà OH < OK (cmt) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: HM2 > KM2 hay HM > KM

* Cách dựng

- Dựng trung điểm I của AB

- Qua A dựng dây CD song song với OI

- Qua B dựng dây EF song song với OI

Ta được CD và EF là hai dây cần dựng

* Chứng minh

Ta có : CD // OI, EF // OI

Suy ra : CD // EF

Kẻ OH ⊥ CD cắt EF tại K

Suy ra: OK ⊥ EF

Lại có: IA = IB

Suy ra: OH = OK

Vậy CD = EF.