1. Giả sử 7 là số hữu tỉ  7 m
n
 (tối giản). Suy ra
2
2 2
2
m
7 hay 7n m
n
  (1). Đẳng thức này chứng tỏ
m 7 2 mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 =
49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên
phân số m
n
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ
 

2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a)  b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
 

Vậy min S = 2  x = y = 1.
 

Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2
 

3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x
 

 S ≥ 2.  mim S = 2 khi x = y = 1
 

(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1)  4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S
 

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có
 

2a.

c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : 3a 5b 3a.5b
 2
 .
 

 
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 . 2c; 2 . 2b
a b a b a c a c
      ; ca ab ca ab 2 . 2a
b c b c
   cộng từng vế ta được b
đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
3a 5b

 

4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương bc ca bc ab ca ab và ; và ; và
a b a c b c
, ta lần lượt có:
 

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5
 

5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
 

Vậy min M = ¼  a = b = ½ .
 

Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2
 

6. Đặt a = 1 + x  b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3
 

Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
 

 4ab > 0  ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
 

7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
 

8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b |  a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
 

Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0
 

Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương,
 

1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
 

10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
 

b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
 

11. a)
4
2x 3 1 x 3x 4 x
2x 3 1 x 3
2x 3 x 1 x 2
x 2

                    