1
a, 

Vì BH⊥AM (gt)

    CK⊥AM (gt)

⇒BH//CK (vì BH và CK đều vuông góc với AM)

⇒∠HBM=∠KCM (2 góc so le trong)

Xét ΔBHM và ΔCKM có

∠HMB=∠CKM (2 góc đối đỉnh)

BM=MC (gt)

∠HBM=∠KCM (cmt)

⇒ΔBHM = ΔCKM (g-c-g)

⇒BH=CK (2 cạnh tương ứng)

b,Ta có:

BH//KC

BH=KC

⇒Tứ giác BHCK là hình bình hành ( tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau là hbh)

⇒BK//KC

⇒∠MBK=∠MCH ( 2 góc so le trong)

Xét ΔBMK và ΔCMH có

∠HMC=∠BMC (2 góc đối đỉnh)

BM=MC (gt)

∠MBK=∠MCH (cmt)

⇒ΔBMK = ΔCMH (g-c-g)

⇒BK=HC ( 2 cạnh tương ứng)

c,Ta có

F là trung điểm của HC

M là trung điểm của HK

⇒FM là đường trung bình của ΔHKC

⇒FM//KC (1)

Ta có

E là trung điểm của BK

M là trung điểm của HK

⇒EM là đường trung bình của ΔKBH

⇒EM//BH (1)

Mà BH//KC

⇒E,M,F thẳng hàng

2

2
a)Ta cs:^ABC+^ABD=180 đôj

^ACB+^ACE=180 độ

Mà ^ABC=^ACB( tam giác ABC cân tại A)

=>^ABD=^ACE

Xé có 

AB=AC(gt)

^ABD=^ACE(c/m trên)

BD=CE(gt)

Do đó : tam giác ABD = tam giác ACE(c-g-c)

=>^D=^E(2 góc tương ứng )

=>tam giác ADE cân tại A

b)Xét tam giác AMB và tam giác AMC cs

AB=AC(gt)

MB=MC(gt)

^ABM=^ACM

=>tam giác AMB = tam giác AMC(c-g-c)

=>^BAM=^CAM(2 góc tương ứng )

=>AM là tia phân giác của góc DAE

VÀ ^AMB=^AMC(2 góc tương ứng )

Mà ^AMB+^AMC=180 độ 

=>^AMB=^AMC=180/2=90 độ

=>AM vuông góc vs BC

Hay AM vuông góc DE.

c)Xét tam giác HDB và tam giác KEC cs

^D=^E( tam giác ADE cân. tại A)

BD=CE(gt)

^BHD=^CKE(=90 độ)

=>tam giác HDB = tam giác KEC(ch-gn)

=>BH = CK.((2 cạnh tương ứng )

3