a.Vì ΔABC cân tại A (gt)

=>ABC=ACB (2 góc ở đáy bằng nhau)

và AB=AC (2 cạnh bên bằng nhau)

Xét ΔABD và ΔACE có:

         BD=CE (gt)

         ABD=ACE (do ABC=ACB)

         AB=AC (cmt)

=>ΔABD=ΔACE (c.g.c)

=>AD=AE (2 cạnh tương ứng)

=>ΔADE cân tại A

b.Xét ΔDMB và ΔENC có:

         DMB=ENC=90 độ

         DB=EC (gt)

         DBM=ECN (do ABC=ACB)

=>ΔDMB=ΔENC (ch-gn)

=>DM=EN (2 cạnh tương ứng)

c.Vì ΔDMB=ΔENC (cm câu b)

=>MB=NC (2 cạnh tương ứng)

Lại có: AB=AC (cmt)

=>AB-MB=AC-NC

hay AM=AN

Xét ΔANI và ΔAMI có:

        ANI=AMI=90 độ

        AI chung

        AN=AM (cmt)

=>ΔANI=ΔAMI (ch-cgv)

=>NAI=MAI (2 góc tương ứng)

=>AI là tia phân giác góc NAM

Trong ΔABC cân tại A có AI là đg phân giác đồng thời là đg cao

=>AI⊥BC hay AI⊥DE

Trong ΔDAE cân tại A có AI là đg cao đồng thời là đg phân giác

=>AI là tia phân giác góc DAE

d.Trong ΔDAE cân tại A có AI là đg phân giác đồng thời là đường trung tuyến 

=>EK=DK=DE/2=10/2=5 (cm)

Vì ΔAKD vuông tại K nên:

  =>AD²=AK²+DK²

  =>AK²=AD²-DK²

<=>AK²=13²-5²

<=>AK²=169-25

<=>AK²=144

<=>AK=√144=12 (cm)

Vậy AK=12 cm.