2:
 

 a) Vì ABCD là hình thang nên ta có :

AB song song với CD (gt)(1)

=> góc D1 = Góc B1 (hai góc so le trong) (2)

Và góc C1=góc A1 (2 góc so le trong ) (3)

Xét tam giác IMD và tam giác IAB , ta có:

góc I1 = góc I2 (2 góc đối đỉnh ) (4)

Từ (2) , (4) => Tam giác IMD đồng dạng với tam giác IAB (G-G) (5)

Xét tam giác KMC và tam giác KBA , ta có :

góc K1 = góc K2 (hai góc đối đỉnh ) (6)

Từ (3), (6) => tam giác KMC đồng dạng với tam giác KBA (G-G) (7)

Từ (5) => IM/IA = DM/AB(8)

Từ (7) => KM/KB = MC/AB (9)

Mà DM= MC (M là tđ của CD) (10)

=>DM/AB = MC / AB (11)

Từ (8),(9),(11) => IM/IA = KM/KB (12)

Nên IK song song với AB ( đl Ta-lét đảo) (13)

b)Từ (1),(13) => IK song song với CD (14)

Từ (14) =>EI song song với DM ,áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với tam giác ADM. Ta có :

AI / AM = Ei / DM (15)

Từ (14) => KF song song với MC , áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với tam giác BCM. Ta có :

BK/ BM = KF/MC (16)

Từ (14) => IK song song với MC, áp dụng hệ quả của địn lý Ta-lét đối với tam giác ACM . TA cÓ :

AI/AM = IK/MC (17)

Từ (14) => IK song song với DM , áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét với Tam giác BDM . ta có:

BK/BM = IK/DM (18)

Từ (10) => IK/MC = IK /DM (19)

Từ (17),(18),(19), => AI/ AM = BK/ BM (20)

Từ (15),(16),(17),(20) => EI/DM = KF / MC =IK / MC (21)

Từ (10),(21) => Ei=IK=KF