a) Xét (O) có AM và BC là các tiếp tuyến tại M và H

=> AM⊥OM và BC⊥OH

Xét ΔMOB có góc OMB=90

=> ΔMOB vuông tại M

=> B;M;O cùng thuộc đường trong đường kinh OB

Xét ΔOBH có góc OHB=90

=> ΔOBH vuông tại H

=> B;O;H cùng thuộc đường tròn đường kính OB

=> O;M;B;H cùng thuộc đường tròn đường kính OB

b) Xét ΔOAM vuông tại M có OA=2OM=2R

=> Góc OMA=30

=> Góc MOH=60

Xét ΔOMB và ΔOHB có:

    OM=OH(=R)

Góc OMB= góc OHB=90

    OB chung

=> ΔOMB=ΔOHB

=> Góc MOB= góc HOB

=> OB là tia phân giác của góc MOH

=> Góc BOH=30

Chứng minh tương tự ta có góc COA=30

=> Góc BOC=60

Xét ΔBOC có OH vừa là đường cao vưà là phân giác

=> ΔBOC cân tại O

Mà góc BOC=60

=> ΔBOC đều

=> OB=OC

Xét ΔOBA có góc BOA= góc BAO=30

=> ΔOBA cân tại B

==> OB=BA

Xét ΔOCA có Góc COA= góc CAO=30

=> ΔOCA cân tại C

=> OC=CA

=> OB=BA=AC=OC

Xét tứ giác ABOC có: OB=BA=AC=CO

=> Tứ giác ABOC là hình thoi

c) Xét ΔOBH vuông tại H có:

cos BOH=cos 30=OHOBOHOB= ROBROB 

=> OB=2√3R323R3

=> AB=AC=BC=OB=2√3R323R3

=> Chu vi ΔABC=AB+AC+BC=3.2√3R323R3=2√3R23R