a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA = MB mà OA = OB = R
⇒ OM là trung trực của AB
⇒ ˆBIO = 90° hay ˆDIO = 90°
Mà ˆDCO = 90°
⇒ Tứ giác OIDC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b, ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính AC
⇒ ΔABC vuông tại B
Xét ΔABC và ΔACD có:
ˆA : góc chung
 ˆABC = ˆACD = 90°
⇒ ΔABC ~ ΔACD (g.g)
⇒ AB/AC = AC/AD 
⇒ AB.AD = AC^2 (không đổi) (đpcm)

c, Vì E ∈ OM (đường trung trực của AB)
⇒ EA = EB
Để AOBE là hình thoi thì EA = EB = R
⇔ ΔAEO đều
⇔ ˆAOE = 60°
⇔ AM = AO.tanˆAOE = R.tan60° = R√3
Vậy M∈Ax sao cho AM = R√3

d, Chứng minh được ΔMAO ~ ΔACD (g.g)
⇒ MA/AC = AO/CD = OC/CD
⇒ ΔMAC ~ ΔOCD (c.g.c)
⇒ ˆMCA = ˆODC
⇒ ˆMCA = 90° - ˆDOC
⇒ ˆMCA + ˆDOC = 90°
⇒ MC ⊥ CD (đpcm)

c, Vì E ∈ OM (đường trung trực của AB)
⇒ EA = EB
Để AOBE là hình thoi thì EA = EB = R
⇔ ΔAEO đều
⇔ ˆAOE = 60°
⇔ AM = AO.tanˆAOE = R.tan60° = R√3
Vậy M∈Ax sao cho AM = R√3

d, Chứng minh được ΔMAO ~ ΔACD (g.g)
⇒ MA/AC = AO/CD = OC/CD
⇒ ΔMAC ~ ΔOCD (c.g.c)
⇒ ˆMCA = ˆODC
⇒ ˆMCA = 90° - ˆDOC
⇒ ˆMCA + ˆDOC = 90°
⇒ MC ⊥ CD (đpcm)