a) Xét ∆ BMD và ∆ CMD có : 
^ BMD = ^ CMD  = 90° 
MD : chung 
BM = MC ( giả thiết )
=>  ∆ BMD = ∆ CMD ( c.g.c )
<=>  ^DBC = ^ DCB
Xét∆ BDC có : ^ DBC = ^ DCB 
=> ∆ BDC cân tại D 

b) Xét ∆ EAB và ∆ DAB có :
AE = AD ( giả thiết )
^ BAE = ^BED = 90°
AB: chung
=> ∆ EAB = ∆ DAB ( c.g.c )
=> Góc BEC = góc BDE 
Mà ^ BDE = ^ DBC + ^DCB ( tính chất góc ngoài ∆ )
<=> ^BDE = 2. BCE
=> ĐPCM

Từ B kẻ đường thẳng vuông góc BF cắ FM tại K 
Do AM = BC/2 ( CMT )
=> AM = MC 
=> Tam giác AMC cân tại M
=> góc MAC = góc MCA 
Mà góc EAF = góc MAC ( đối đỉnh )
=> góc MCA = góc EAF 
Có góc BEC = 2. BCE
=> góc EFA + góc EAF = 2. BCE 
Mà góc MCA = góc EAF ( CMT )
=> EFA = góc MCA 
Mà EFA + góc BKA = 90 độ 
và góc MAC + góc BAM = 90 độ 
=> góc BKA = góc BAM 
=> tam giác BAK cân tại B 
=> BA = BK 
Xét tam giác BFK và tam giác ACB có :
Góc FBK = góc BAC = 90 độ 
BK = BA ( CMT )
góc BKA = góc BAM (CMT )
=> tam giác BFK = tam giác ACB ( gcg )
=> BF = AC