Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương.

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2, 3, 5

Gọi 9 số đó có dạng xi=2ai.3bi.5c1xi=2ai.3bi.5c1   (i=1,2,3,...,9i=1,2,3,...,9)

Khi lấy số dư của ai,bi,ciai,bi,ci cho 2 thì ta được 1 trong 8 trường hợp sau:

⎧⎪⎨⎪⎩(0;0;0),(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1),(1;1;1)⎫⎪⎬⎪⎭{(0;0;0),(0;0;1),(0;1;0),(1;0;0),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1),(1;1;1)}

Mà có 9 số nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại 2 số xixi và xjxj sao cho:

ai≡aj(mod2);bi≡bj(mod2);ci≡cj(mod2)ai≡aj(mod2);bi≡bj(mod2);ci≡cj(mod2)

⇒ai+aj;bi+bj;ci+cj⇒ai+aj;bi+bj;ci+cj đều chẵn

⇒xi.xj=2ai+aj.3bi+bj.5ci+cj⇒xi.xj=2ai+aj.3bi+bj.5ci+cj là một số chính phương.