Ta có 33 ≡ 1 (mod 13) mà 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = (33)667. 32

33 ≡ 1 => (33)667 ≡ 1667 => (33)667. 32 ≡ 1.32 (mod 13) (33)667. 32 ≡ 9

=> 32003 ≡ 9 (mod 13).

Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 .

Ta có

25 ≡ 1(mod 12)

=> 5^2 ≡ 1(mod 12)

=> (5^2)^35 ≡ 1 (mod 12)

=> 5^70  ≡ 1 (mod 12) (1)
Ta lại có  :

49 ≡ 1 (mod 12)

=> 7^2 ≡ 1(mod 12)

 = > (7^2)^25 ≡ 1(mod 12) (2)

=> 7^50 ≡ 1(mod 12) (2)
Từ (1) và (2) => 5^70 + 7^50 chia cho 12 dư 2.

Khi chia cho 3:

Ta có:

_ 7762 đồng dư 1 (mod 3) 

=>(7762)388=776776 đồng dư 1 (mod 3)

_ 777 chia hết cho 3 => 777777 chia 3 dư 0

_778 đồng dư 1 (mod 3)

=>778778 đồng dư 1 (mod 3)

Vậy A đồng 1+0+1=2 (mod 3) hay A chia 3 dư 2

Khi chia cho 5: 

Ta có:

776^776 + 777^777 + 778^778

A= ( 776^4 )^194 + ( 777^4)^194+1 + (778^4)^192 . 778^2

= (...1) + (...7) + (...6) + (...4)

= (....8) + (...4)

= (...2)

=> A : 5 dư 2