\[\frac{{5}^{125}-1}{{5}^{25}-1}=\frac{{({5}^{25}})^{5}-1}{{5}^{25}-1}\]

Đến đây bạn phải biết:

\[{a}^{n}-{b}^{n}=(a-b)({a}^{n-1}{b}^{0}+{a}^{n-2}{b}^{1}+...+{a}^{0}{b}^{n-1})\]

Áp dụng vào trường hợp này:

\[\frac{{({5}^{25}})^{5}-1}{{5}^{25}-1}=\frac{({5}^{25}-1)({{5}^{25}}^{4}+{{5}^{25}}^{3}+...+1)}{{5}^{25}-1}={{5}^{25}}^{4}+{{5}^{25}}^{3}+...+1\]

Đến đây coi như xong.

Bạn đã chứng minh được phân số đề cho KHÔNG là một số nguyên tố, vì

\[\frac{{5}^{125}-1}{{5}^{25}-1}={{5}^{25}}^{4}+{{5}^{25}}^{3}+...+1\]

Chắc chắn \[{{5}^{25}}^{4}+{{5}^{25}}^{3}+...+1\] là một số NGUYÊN.