a) Có : 
 AE=BE=1/2AB

 DF=CF=1/2DC

  mà AB=CD

⇒ AE=BE=DF=CF

Xét tứ giác AEFD có:

AE=DF (cmt) và AE//DF( AB//CD)

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có :

AE = CF ( cmt) và AE//CF ( AB//CD)

⇒ Tứ giác AECF là hình bình hành
b)M là giao điểm của AF và DE

⇒ AM = FM=1/2AF ( tính chất đ/chéo hbhành) (1)

N là giao điểm của BF và CE

⇒ EN = CN=1/2CE ( tính chất đ/chéo hbhành) (2)

Có AF = AM + FM

     CE = EN + CN

mà AE = CE ( AECF là hbh)

Từ (1) và (2) suy ra MF= EN và MF//EN ( AF//CE )

 ⇒ EMFN là hình bình hành (3)

Có AE = AD ( cùng bằng 2AB ) và AEFD là hình bình hành nên AEFD là hình thoi

⇒ AF ⊥ DE tại M hay góc EMF = 90 độ (4)

Từ (3) và (4) suy ra : EMFN là hcn
c)
Hình chữ nhật EMFN là hình vuông

⇔ ME = MF ⇔ DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)

⇔ Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau

⇔ AEFD là hình vuông ⇔ Aˆ=90o

⇔ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật.