a) Xét tứ giác AKCM có:

MI = MK (K là điểm đối xứng với M qua I (gt))

IA = IC (I là trung điểm AC (gt))

AC giao MK tại I

⇒AMCK là hình bình hành (dhnb) (1)

Vì ΔABC cân tại A (gt)

AM là đường trung tuyến (gt)

⇒ AM cũng là đường cao (t/c)

$\widehat{\mathrm{AMK}}={90}^o\left(2\right)$

Từ (1)(2) ⇒ AKCM là hình chữ nhật 
b) Vì tứ giác AMCK là hình chữ nhật (chứng minh ở a) 
=> AK//MC và AK = MC = MB nên tứ giác AKMB là hình bình hành..
c)Diện tích tứ giác AMCK 
$\mathrm{AMCK}$= 10. 8 = 80${\mathrm{cm}}^2$
d)

Để AMCK là hình vuông

⇔ AMCK vừa là tứ giác, vừa là hình thoi

mà AMCK là tứ giác (cmt)

Vậy ta cần tìm điều kiện để AMCK là hình thoi

Để AMCK là hình thoi

⇔ AM = MC
mà MC=$\frac{1}{2}$BC (AM là đường trung tuyễn của ΔABC(gt))
⇔ AM=$\frac{1}{2}$​BC

⇔ΔABC vuông tại A (tính chất về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

⇔ΔABC vuông cân tại A

Vậy muốn tứ giác AMCK là hình vuông thì ΔABC phải vuông cân tại A