1) Định nghĩa
Cho \(D ∈ R,  D ≠ \phi\). Một hàm số xác định trên \(D\) là một quy tắc \(f\) cho tương ứng mỗi số \(x ∈ D\) với một và duy nhất chỉ một số \(y ∈ R\). Ta kí hiệu:
                                   \(f : D  → \mathbb R\)
                                          \(x → y = f(x)\)
Tập hợp \(D\) được gọi là tập xác định ( hay miền xác định) \(x\) được gọi là biến số (hay đối số), \(y_0= f(x_0)\) tại \(x = x_0\).
Một hàm số có thể được cho bằng một công thức hay bằng biểu đồ hay bằng bảng.
Lưu ý rằng, khi cho nột hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta ngầm hiểu tập xác định \(D\) là tập hợp các số \(x ∈\mathbb R\) mà các phép toán trong công thức có nghĩa.
2. Đồ thị
Đồ thị của hàm số:         \(f : D  → \mathbb R\)
                                              \( x → y = f(x)\)
là tập hợp các điểm \((x;f(x)), x ∈ D\) trên mặt phẳng tọa độ.
3. Sự biến thiên
Hàm số \(y = f(x)\) là đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu với mọi \(x_1,x_2 ∈ (a;b)\) mà \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) hay \({x_1} \ne {x_2}\) ta có \(\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}> 0\).
Hàm số \(y = f(x)\) là nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in (a;b)\) mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\) hay \({x_1} \ne {x_2}\) ta có \(\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}< 0\).
4. Tính chẵn lẻ của hàm số
Hàm số \(f:  D → R\)
                     \( x → y = f(x)\) được gọi là hàm số chẵn nếu: \(x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D\) và \(f(- x)=f(x)\), là hàm số lẻ nếu \(x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D\) và \(f(- x) = -f(x)\).
Đồ thị của hàm số chẵn có trục đối xứng là trục tung. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc \(O\) của hệ trục tọa độ làm tâm đối xứng.