a) ΔABC cân tại A có I là trung điểm cạnh BC

⇒AI là phân giác cũng là đường cao

⇒ˆBAI=ˆCAI

Và AI⊥BC mà MN∥BC⇒AI⊥MN

⇒ˆMAB=ˆNAC (vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau ˆBAI=ˆCAI)

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM=AN

ˆMAB=ˆNAC

AB=AC

⇒ΔABM=ΔACN (c.g.c)

⇒ˆBMA=ˆCNA (hai góc tương ứng bằng nhau)

Tứ giác BCNM có MN∥BC⇒BCNM là hình thang

Từ 2 điều trên ⇒BCNM là hình thang cân.

b) Do H,K là trung điểm của BM và CN

⇒HK là đường trung binh hình thang BCNM

⇒HK∥BC⇒HK⊥AI

c) Gọi HK∩AI=E

Do ΔABM=ΔACN

⇒HB=KC (=1/2BM=1/2CN)

Và ˆABH=ˆACK

AB=ACAB=AC

Từ 3 điều trên suy ra ΔABH=ΔACK (c.g.c)

⇒AH=AK

⇒ΔAHK là tam giác cân AE là đường cao cũng là trung tuyến

⇒E là trung điểm cạnh HK

⇒AI và HK vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒AHIK là hình thoi.