Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12

Bài 1. Cho hàm số:
\(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)  = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S\) và \(P\) theo \(a\).
Trả lời:
Ta có:
\(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2)\) nên phương trình \(f(x) = 0\) luôn có hai nghiệm thực là:
\(x = 1, x = } < 0,\forall a \in ( - \infty, 0) \cup (0, + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞, 0)\) và \((0, +∞)\)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to - \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr} \)
Vậy \(S = 2\) là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} (2 + {2 \over a}) = - \infty \cr} \)
Vậy \(a = 0\) là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \(a = -1\)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(P = 0\} \)
 \(S' = {{ - 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\)
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ - }} S =  - \infty  ⇒ \)Tiệm cận đứng: \(a = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{a \to  \pm \infty } S = 1⇒\) Tiệm cận ngang: \(S = 1\)

Đồ thị hàm số:

Ngoài ra: đồ thị hàm số \(P =