theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB=AC=> A thuộc đường trung trực của BC ( 1)
OB=OC=R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ 1 và 2 suy ra OA là đường trung trực của BC=> BI vuông góc với OA
Xét $∆\mathrm{ABC} , \hat{\mathrm{B}}={90}^0$ 
$BI\perp OA$ ta có :$$\begin{gathered} A{B}^2=OA\times AI \\ O{B}^2=OA\times OI \\ A{B}^2-O{B}^2=AO\times AI-AO\times OI=AO\times \left(AI-OI\right) \end{gathered}$$
$\frac{A{B}^2-O{B}^2}{A{I}^2-O{I}^2}=\frac{AO\times \left(AI-OI\right)}{\left(AI-OI\right)\left(AI+OI\right)}=\frac{AO}{AI+OI}=\frac{AO}{AO}=1$
VẬY $A{B}^2-O{B}^2=A{I}^2-O{I}^2$