a) Ta có: 
n^5 + 29n
= n^5 - n + 30n
= n(n^4 - 1) + 30n
= n(n^2 - 1)(n^2 + 1) + 30n
= n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) + 30n
Vì (n - 1), n, (n + 1) là 3 số liên tiếp, nên trong 3 số này có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6.
Ta chia các trường hợp như sau:
TH1: n chia hết cho 5
Khi đó, n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 30, dẫn tới n^5 + 29n chia hết cho 30.
TH2: n chia 5 dư 1
Khi đó, (n - 1) chia hết cho 5, kéo theo n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 30, dẫn tới n^5 + 29n chia hết cho 30.
TH3: n chia 5 dư 2 hoặc dư 3
Khi đó, (n^2 + 1) chia hết cho 5, kéo theo n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 30, dẫn tới n^5 + 29n chia hết cho 30.
TH4: n chia 5 dư 4
Khi đó, (n + 1) chia hết cho 5, kéo theo n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1) chia hết cho 30, dẫn tới n^5 + 29n chia hết cho 30.
Vậy n^5 + 29n luôn chia hết cho 30.