+)Theo giả thiết ta có: AB = AC và BD = CE nên:

AB + BD = AC + CE hay AD = AE.

+) Xét ΔABE và ΔACD có:

AB = AC (gt)

∠A chung

AE = AD (chứng minh trên)

⇒ ΔABE = ΔACD (c.g.c)

⇒ BE = CD (2 cạnh tương ứng) (1)

và ∠ABE = ∠ACD (2 góc tương ứng) (2)

Tam giác ABC cân nên ∠B1 = ∠C1. (3)

Từ (2) và (3) ⇒ ∠ABE - ∠B1 = ∠ACD - ∠C1, tức là ∠B2 = ∠C2.

⇒ ΔBIC cân tại I ⇒ IB = IC. (4)

Từ (1) và (4) suy ra BE - IB = CD – IC, tức là IE = ID.
b) 

Xét ΔABM và ΔACM có:

AB = AC ( giả thiết)

BM = CM ( vì M là trung điểm BC )

AM chung

⇒ ΔABM = ΔACM (c.c.c)

⇒ ∠AMB = ∠AMC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AMB + ∠AMC = 180o

⇒ ∠AMB = ∠AMC = 90o hay AM ⊥ BC

Chứng minh tương tự ta có: IM ⊥ BC

⇒ A, I, M thẳng hàng (Qua 1 điểm ta kẻ được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước)
c) Các tam giác cân ABC và ADC có chung góc ở đỉnh ∠A nên ∠B1 = ∠ADE. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra BC // DE.