Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm C nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến CA, CB và cát tuyến CMN với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm, M là điểm nằm giữa C và N). Gọi H là giao điểm của CO và AB

a) Chứng minh tứ giác AOBC nội tiếp

b) Chứng minh rằng CH.CO=CM.CNCH.CO=CM.CN

c) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt CA, CB theo thứ tự E, F. Đường thẳng vuông góc với CO tại O cắt CA, CB theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh ˆPOE=ˆOFQPOE^=OFQ^

d) Chứng minh rằng PE+QF≥PQ
Lời giải:
 

a)     Vì CA và CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ˆCAO=ˆCBO=900⇒ˆCAO+ˆCBO=1800CAO^=CBO^=900⇒CAO^+CBO^=1800

b)     Xét tam giác ACM và NCA có ˆACNACN^ chungVậy tứ giác AOBC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)

ˆCAM=ˆANMCAM^=ANM^ (cùng chắn cung AM)

⇒ΔACM∼ΔNCA(g.g)⇒ACNC=CMAC⇒AC2=CM.CN⇒ΔACM∼ΔNCA(g.g)⇒ACNC=CMAC⇒AC2=CM.CN

Xét tam giác vuông OAC cóAC2=CH.COAC2=CH.CO

Từ đó suy ra CH.CO=CM.CNCH.CO=CM.CN

c)  ˆOFQ=ˆOCF+ˆCOF=ˆOCP+ˆCOF=ˆAOP+ˆCOF+)ˆPOE=ˆPOA+ˆAOE=ˆAOP+12ˆAOM=ˆAOP+12(1800−ˆAEM)=ˆAOP+90o−12(ˆECF+ˆCFE)=ˆAOP+90o−12(1800−ˆAOB)−12(180o−ˆMFB)=ˆAOP+12ˆAOB−12(1800−1800+ˆMOB)=ˆAOP+ˆCOB−ˆBOF=ˆAOP+ˆCOFc)  OFQ^=OCF^+COF^=OCP^+COF^=AOP^+COF^+)POE^=POA^+AOE^=AOP^+12AOM^=AOP^+12(1800−AEM^)=AOP^+90o−12(ECF^+CFE^)=AOP^+90o−12(1800−AOB^)−12(180o−MFB^)=AOP^+12AOB^−12(1800−1800+MOB^)=AOP^+COB^−BOF^=AOP^+COF^

Vậy ˆPOE=ˆOFQPOE^=OFQ^

d) Tam giác CPQ cân tại C⇒ˆOPE=ˆFQO⇒OPE^=FQO^ , và ˆPOE=ˆOFQPOE^=OFQ^(cmt) nên ΔPEO∼ΔQOF(g.g)ΔPEO∼ΔQOF(g.g)

⇒PEQO=POQF⇒PE.QF=PO.QO=(PQ2)2⇒PEQO=POQF⇒PE.QF=PO.QO=(PQ2)2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: PE+QF≥2√PE.QF=2√(PQ2)2=PQ