a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

Vì ∠ABD là góc ngoài của ΔABC

⇒ ∠ABD = ∠BAC + ∠ACB (1)

Vì ∠ACE là góc ngoài của ΔABC

⇒ ∠ACE = ∠BAC + ∠ABC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABD = ∠ACE

Xét ΔABD và ΔACE có:

       AB = AC (cmt)

       ∠ABD = ∠ACE (cmt)

        BD = CE (gt)

⇒ ΔABD = ΔACE (c.g.c)

⇒ AD = AE (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔADE cân tại A 

b) ΔADE cân tại A ⇒ ∠D = ∠E

Xét ΔBDH và ΔCEK có:

        ∠BHD = ∠CKE = 90o90o

         BD = CE (gt)

          ∠D = ∠E (cmt)

⇒ ΔBDH = ΔCEK (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ BH = CK (2 cạnh tương ứng)

    DH = EK (2 cạnh tương ứng)

mà AD = AE ⇒ AD - DH = AE - EK

⇒ AH = AK  ⇒ ΔAHK cân tại A

Có: ∠D + ∠E + ∠DAE = 180o180o

⇒ 2 . ∠D + ∠DAE = 180o180o

⇒ ∠D = 180o−∠DAE2180o−∠DAE2 (3)

Có: ∠AHK + ∠AKH + ∠HAK = 180o180o

⇒ 2 . ∠AHK + ∠HAK = 180o180o

⇒  ∠AHK = 180o−∠HAK2180o−∠HAK2 (4) 

Từ (3) và (4) ⇒ ∠D = ∠AHK

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒  HK // BC

c) Ta có: ΔBDH = ΔCEK (theo b)

⇒ ∠DBH = ∠ECK (2 góc tương ứng)

Mà ∠DBH = ∠OBC (2 góc đối đỉnh)

      ∠ECK = ∠OCB (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∠OBC = ∠OCB 

⇒ ΔOBC cân tại O

d) Xét ΔAMB và ΔAMC có:

           AB = AC (theo a)

           AM: cạnh chung

           MB = MC (M là trung điểm của BC)

⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

⇒ ∠BAM = ∠CAM (2 góc tương ứng)

⇒ AM là tia phân giác của ∠BAC (5)

Xét ΔABO và ΔACO có:

       AB = AC (theo a)

        AO: cạnh chung

        BO = CO (do ΔOBC cân tại O)

⇒ ΔABO = ΔACO (c.c.c)

⇒ ∠BAO = ∠CAO (2 góc tương ứng)

⇒ AO là tia phân giác của ∠BAC (6)

Từ (5) và (6) ⇒ A, M, O thẳng hàng

⇒ AM, BH, CK đồng quy