a) Giải phương trình với m=2.m=2.

Thay m=2m=2 vào phương trình ta được:

x2−2x−3=0⇔x2−3x+x−3=0⇔x(x−3)+(x−3)=0⇔(x+1)(x−3)=0⇔[x+1=0x−3=0⇔[x=−1x=3.x2−2x−3=0⇔x2−3x+x−3=0⇔x(x−3)+(x−3)=0⇔(x+1)(x−3)=0⇔[x+1=0x−3=0⇔[x=−1x=3.

Vậy với m=2m=2 thì phương trình có tập nghiệm: S={−1;3}.S={−1;3}. 

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.m.

Ta có: Δ=m2−4.(−3)=m2+12>0∀m.Δ=m2−4.(−3)=m2+12>0∀m.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.m.

c) Gọi x1,x2x1,x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm mm để (x1+6)(x2+6)=2019.(x1+6)(x2+6)=2019.

Theo câu b), phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2x1,x2  với mọi m.m.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: {x1+x2=mx1x2=−3.{x1+x2=mx1x2=−3.

Theo đề bài ta có: (x1+6)(x2+6)=2019(x1+6)(x2+6)=2019

⇔x1x2+6x1+6x2+36=2019⇔x1x2+6(x1+x2)−1983=0⇔−3+6m−1983=0⇔6m=1986⇔m=331.⇔x1x2+6x1+6x2+36=2019⇔x1x2+6(x1+x2)−1983=0⇔−3+6m−1983=0⇔6m=1986⇔m=331.

Vậy m=331m=331 thỏa mãn điều kiện bài toán.