a)a) Giả sử 4n+34n+3 và 2n+32n+3 cùng chia hết cho số nguyên tố dd thì:
2(2n+3)−(4n+3)⋮d→3⋮d→d=32(2n+3)−(4n+3)⋮d→3⋮d→d=3
Để (2n+3,4n+3)=1(2n+3,4n+3)=1 thì d≠3d≠3. Ta có:
4n+34n+3 không chia hết cho 33 nếu 4n4n không chia hết cho 33 hay nn không chia hết cho 33.
Kết luận: Với nn không chia hết cho 33 thì 4n+34n+3 và 2n+32n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b)b) Giả sử 7n+137n+13 và 2n+42n+4 cùng chia hết cho số nguyên tố dd.
Ta có: 7(2n+4)−2(7n+13)⋮d→2⋮d→d∈{1;2}7(2n+4)−2(7n+13)⋮d→2⋮d→d∈{1;2}
Để (7n+13,2n+4)=1(7n+13,2n+4)=1 thì d≠2d≠2
Ta có: 2n+42n+4 luôn chia hết cho 22 khi đó 7n+137n+13 không chia hết cho 22 nếu 7n7n chia hết cho 33 hay nn chia hết cho 22..
Kết luận: Với nn chẵn thì thì 7n+137n+13 và 2n+42n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau.
c)1.c)1. Xét nn chẵn, hai số đều chẵn →→ không nguyên tố cùng nhau
2.2. Xét nn lẻ, ta chứng minh 22 số này luôn nguyên tố cùng nhau
9n+24=3(3n+8)9n+24=3(3n+8)
Vì 3n+43n+4 không chia hết cho 33, nên ta xét tiếp 3n+83n+8
Giả sử kk là ước số của 3n+83n+8 và 3n+43n+4, đương nhiên kk lẻ (a)(a)
→k→k cũng là ước số của (3n+8)−(3n+4)=4→k(3n+8)−(3n+4)=4→k chẵn (b)(b)
Từ (a)(a) và (b)→(b)→ Mâu thuẫn
Vậy với nn lẻ, 22 số đã cho luôn luôn nguyên tố cùng nhau
d)d) Giả sử 18n+318n+3 và 21n+721n+7 cùng chia hết cho số nguyên tố dd
Ta có: 6(21n+7)−7(18n+3)⋮d→21⋮d→d∈{3;7}6(21n+7)−7(18n+3)⋮d→21⋮d→d∈{3;7}. Hiển nhiên d≠3d≠3 vì 21n+721n+7 không chia hết cho 33.
Để (18n+3,21n+7)=1(18n+3,21n+7)=1 thì d≠7d≠7 tức là 18n+318n+3 không chia hết cho 77 nếu 18n+3−2118n+3−21 không chia hết cho 7↔18(n−1)7↔18(n−1) không chia hết cho 7↔n−17↔n−1 không chia hết cho 7↔n≠7k+1(k∈n)7↔n≠7k+1(k∈n)
Kết luận: Với n≠7k+1(k∈Nn≠7k+1(k∈N thì 18n+318n+3 và 21n+721n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau.