a) Xét ΔABDΔABD và ΔACEΔACE có:

AB=ACAB=AC (do ΔABCΔABC cân đỉnh A)

ˆABD=ˆACEABD^=ACE^ (cùng +45o+45o=180^o)

BD=CEBD=CE (giả thiết)

⇒ΔABD=ΔACE⇒ΔABD=ΔACE (c.g.c)

⇒AD=AE⇒AD=AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ΔADE⇒ΔADE cân đỉnh A

b) Ta có: BD+BM=CE+CM⇒DM=EMBD+BM=CE+CM⇒DM=EM

Xét ΔAMDΔAMD và ΔAMEΔAME có:

AD=AEAD=AE (cmt)

AMAM chung

DM=EMDM=EM (cmt)

⇒ΔAMD=ΔAME⇒ΔAMD=ΔAME (c.c.c)

⇒ˆMAD=ˆMAE⇒MAD^=MAE^ (hai góc tương ứng)

⇒AM⇒AM là phân giác ˆDAEDAE^ (đpcm)

Ta có ΔAMD=ΔAME⇒ˆAMD=ˆAMEΔAMD=ΔAME⇒AMD^=AME^

Mà ˆAMD+ˆAME=180oAMD^+AME^=180o

⇒ˆAMD=ˆAME=180o2=90o⇒AMD^=AME^=180o2=90o

⇒AM⊥DE⇒AM⊥DE (đpcm)

c) Xét ΔΔ vuông ABHABH và ΔΔ vuông ACKACK có:

AB=ACAB=AC (gt)

ˆBAH=ˆCAKBAH^=CAK^ (do ΔABD=ΔACEΔABD=ΔACE)

⇒ΔABH=ΔACK⇒ΔABH=ΔACK (ch-gn)

⇒BH=CK⇒BH=CK (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

d) ΔABH=ΔACK⇒AH=AK⇒ΔAHKΔABH=ΔACK⇒AH=AK⇒ΔAHK cân đỉnh AA

⇒ˆH1=180o−ˆA2⇒H1^=180o−A^2

Mà ΔADEΔADE cân đỉnh A nên ˆD=180o−ˆA2D^=180o−A^2

nên ta được ˆH1=ˆDH1^=D^ (=180o−ˆA2)(=180o−A^2)

Mà chúng ở vị trí đồng vị nên HK∥BCHK∥BC (đpcm)

e) Xét ΔΔ vuông AHNAHN và ΔΔ vuông AKNAKN có:

AH=AKAH=AK (cmt)

ANAN chung

⇒ΔAHN=ΔAKN⇒ΔAHN=ΔAKN (ch-cgv)

⇒ˆHAN=ˆKAN⇒HAN^=KAN^ (hai góc tương ứng)

Nên ANAN là phân giác ˆDANDAN^

Ta có: AM và AN đều là phân giác ˆDANDAN^ nên A,M,NA,M,N thẳng hàng.