+) Chứng minh tứ giác BCID nội tiếp ?

Ta có: ^BCE = ^BAE; ^BDF = ^BAF. Do ^BAE + ^BAF = 1800 nên ^BCE + ^BDF = 1800

=> ^BCI + ^BDI = 3600 - ^BCE - ^BDF = 1800 => Tứ giác BCID nội tiếp (đpcm).

+) Chứng minh IA là phân giác góc MIN ?

Gọi đường thẳng AB cắt CD tại J. Ta thấy: JC là tiếp tuyến từ điểm J tới (O), JAB là cát tuyến của (O)

Suy ra JC2 = JA.JB (Hệ thức lượng đường tròn). Tương tự JD2 = JA.JB

=> JC = JD. Áp dụng hệ quả ĐL Thales ta có AMJC=ANJD(=BABJ)AMJC=ANJD(=BABJ)(Vì EF // CD) => AM=AN (1) 

Mặt khác: ^ADC = ^AFD = ^IDC, ^ACD = ^CEA = ^ICD. Từ đó ΔΔCAD = ΔΔCID (g.c.g)

=> CI = CA và DI = DA => CD là trung trực của AI => CD vuông góc AI

Mà MN // CD nên IA vuông góc MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA là trung trực của MN => ΔΔMIN cân tại I có IA là trung trực cạnh MN

=> IA đồng thời là phân giác của ^MIN (đpcm).