1. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AB = AC => DABC cân tại A.

2.  Theo giả thiết MI ^ BC => ÐMIB = 900; MK ^ AB => ÐMKB = 900.

=> ÐMIB  + ÐMKB = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác BIMK nội tiếp

* ( Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp  tương tự tứ giác BIMK )

3. Theo trên  tứ giác BIMK nội tiếp => ÐKMI + ÐKBI = 1800; tứ giác CHMI nội tiếp => ÐHMI + ÐHCI = 1800. mà ÐKBI = ÐHCI ( vì tam giác  ABC cân tại A)  => ÐKMI = ÐHMI (1).

Theo trên  tứ giác BIMK nội tiếp => ÐB1 = ÐI1 ( nội tiếp cùng chắn cung KM); tứ giác CHMI nội tiếp => ÐH1 = ÐC1 ( nội tiếp cùng chắn cung IM). Mà ÐB1 = ÐC1 ( = 1/2 sđ ) => ÐI1 = ÐH1 (2).

Từ (1) và (2) => DMKI   DMIH =>  => MI2 = MH.MK

4. Theo trên ta có  ÐI1 = ÐC1; còng chứng minh tương tự ta có ÐI2 = ÐB2 mà ÐC1 + ÐB2 + ÐBMC = 1800 => ÐI1 + ÐI2 + ÐBMC = 1800 hay ÐPIQ + ÐPMQ = 1800 mà đây là hai góc đối => tứ giác PMQI nội tiếp => ÐQ1 = ÐI1 mà ÐI1 = ÐC1 => ÐQ1 = ÐC1 => PQ // BC ( vì có hai góc đồng vị bằng nhau) . Theo giả thiết MI ^BC nên suy ra IM ^ PQ.