a) Xét tứ giác DHKCDHKC có

∠DHC=90∘∠DHC=90∘(do CH⊥BDCH⊥BD)

∠DKC=90∘∠DKC=90∘ (do DK⊥ACDK⊥AC)

Suy ra ∠DHC=∠DKC(=90∘)∠DHC=∠DKC(=90∘) nên hai đỉnh H;KH;K  kề nhau cùng nhìn cạnh CDCD dưới các góc vuông nên tứ giác DHKCDHKC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi OO là trung điểm ACAC

Xét đường tròn (O)(O) có  ∠ABD=60∘⇒∠ACD=∠ABD=60∘∠ABD=60∘⇒∠ACD=∠ABD=60∘ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ADAD)

Lại có ∠CDA=90∘∠CDA=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tam giác ACDACD vuông tại DD có AC=4cm;∠ACD=60∘AC=4cm;∠ACD=60∘ nên AD=AC.sin∠ACD=4.sin60∘=2√3cmAD=AC.sin⁡∠ACD=4.sin⁡60∘=23cm

Và CD=AC.cos∠ACD=4.cos60∘=2cmCD=AC.cos⁡∠ACD=4.cos⁡60∘=2cm

Diện tích tam giác ACDACD là SΔACD=12AD.DC=12.2√3.2=2√3cm2.SΔACD=12AD.DC=12.23.2=23cm2.

c) Vì EK//BC⇒∠DEK=∠DBCEK//BC⇒∠DEK=∠DBC (1) (hai góc ở vị trí đồng vị)

Xét đường tròn (O)(O) có ∠DBC=∠DAC∠DBC=∠DAC (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CDCD)

Từ (1) và (2) suy ra ∠DEK=∠DAK∠DEK=∠DAK

Suy ra tứ giác AEKDAEKD có hai đỉnh A,EA,E  cùng nhìn cạnh KDKD dưới các góc bằng nhau nên tứ giác AEKDAEKD là tứ giác nội tiếp, suy ra ∠AED=∠AKD=90∘∠AED=∠AKD=90∘

Do đó AE⊥EBAE⊥EB suy ra ΔAEBΔAEB vuông tại E.E.

Lại có ABAB cố định nên EE thuộc đường tròn đường kính ABAB cố định khi II thay đổi trên đoạn OC.