MI⊥AB⇒ˆAIM=90oMI⊥AB⇒AIM^=90o

MK⊥AC⇒ˆMKA=90oMK⊥AC⇒MKA^=90o

Xét tứ giác AIMKAIMK có:

ˆAIM+ˆMKA=90o+90o=180oAIM^+MKA^=90o+90o=180o mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra tứ giác AIMKAIMK nội tiếp đường tròn đường kính (AM)(AM)

b)

Xét tứ giác KMPCKMPC ta có:

ˆMPC=90oMPC^=90o (MP⊥BC)

ˆMKC=90oMKC^=90o (MK⊥AC)

⇒ˆMPC+ˆMKC=180o⇒MPC^+MKC^=180o mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác KMPCKMPC nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính (MC)(MC)

⇒ˆMPK=ˆMCK⇒MPK^=MCK^ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)

ˆMCK=ˆMBCMCK^=MBC^ (2) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (O))

Từ (1) và (2) ⇒ ˆMPK=ˆMBCMPK^=MBC^ (đpcm) (3)

c)

Xét tứ giác PBMIPBMI ta có:

ˆBPM=90oBPM^=90o (MP⊥BC)

ˆBIM=90oBIM^=90o (MI⊥BA)

⇒ˆBPM+ˆBIM=180o⇒BPM^+BIM^=180o mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

⇒⇒ tứ giác PBMIPBMI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (BM)(BM)

⇒ˆMIP=ˆMBC⇒MIP^=MBC^ (4) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP của tứ giác PBMI)

Từ (3) và (4) ⇒ˆMIP=ˆMPK⇒MIP^=MPK^ (*)

Ta có:

ˆPMI+ˆPBI=180oPMI^+PBI^=180o

ˆPMK+ˆPCK=180oPMK^+PCK^=180o

mà ˆABC=ˆACBABC^=ACB^

Từ ba điều trên suy ra ˆPMK=ˆPMIPMK^=PMI^ (**)

Xét ΔMIP và ΔMPK ta có:

ˆPMK=ˆPMIPMK^=PMI^ (chứng minh từ (**))

ˆMIP=ˆMPKMIP^=MPK^ (chứng minh từ (*))

⇒ΔMIP∼ΔMPK⇒ΔMIP∼ΔMPK

⇔MIMP=MPMK⇔MIMP=MPMK (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔MP2=MI.MK⇔MP2=MI.MK

⇒MI.MK.MP=MP3⇒MI.MK.MP=MP3

⇒MI.MK.MP⇒MI.MK.MP lớn nhất ⇔⇔ MPMP lớn nhất

Dựng OD⊥BC,MO∩BC=E⇒ODOD⊥BC,MO∩BC=E⇒OD cố định

⇒MP≤ME⇒MP≤ME

⇒OD≤OE⇒OD≤OE

⇒MP+OD≤ME+OE=MO⇒MP+OD≤ME+OE=MO

⇒MP≤MO−OD=R−OD⇒MP⇒MP≤MO−OD=R−OD⇒MP lớn nhất khi MP=R−ODMP=R−OD

⇒M⇒M nằm chính giữa cung nhỏ BCBC.

VOTE MIK 5 SAO NHE BN