Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn(O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn(B,C là tiếp điểm ). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC(I thuộc AB, K thuộc AC)
a, Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp.
b, Vẽ MP vuông góc BC(P thuộc BC).Chứng minh góc MPK=góc MBC
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
MI⊥AB⇒ˆAIM=90oMI⊥AB⇒AIM^=90o
MK⊥AC⇒ˆMKA=90oMK⊥AC⇒MKA^=90o
Xét tứ giác AIMKAIMK có:
ˆAIM+ˆMKA=90o+90o=180oAIM^+MKA^=90o+90o=180o mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.
Suy ra tứ giác AIMKAIMK nội tiếp đường tròn đường kính (AM)(AM)
b)
Xét tứ giác KMPCKMPC ta có:
ˆMPC=90oMPC^=90o (MP⊥BC)
ˆMKC=90oMKC^=90o (MK⊥AC)
⇒ˆMPC+ˆMKC=180o⇒MPC^+MKC^=180o mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
⇒⇒ tứ giác KMPCKMPC nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính (MC)(MC)
⇒ˆMPK=ˆMCK⇒MPK^=MCK^ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)
ˆMCK=ˆMBCMCK^=MBC^ (2) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (O))
Từ (1) và (2) ⇒ ˆMPK=ˆMBCMPK^=MBC^ (đpcm) (3)
c)
Xét tứ giác PBMIPBMI ta có:
ˆBPM=90oBPM^=90o (MP⊥BC)
ˆBIM=90oBIM^=90o (MI⊥BA)
⇒ˆBPM+ˆBIM=180o⇒BPM^+BIM^=180o mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
⇒⇒ tứ giác PBMIPBMI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (BM)(BM)
⇒ˆMIP=ˆMBC⇒MIP^=MBC^ (4) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP của tứ giác PBMI)
Từ (3) và (4) ⇒ˆMIP=ˆMPK⇒MIP^=MPK^ (*)
Ta có:
ˆPMI+ˆPBI=180oPMI^+PBI^=180o
ˆPMK+ˆPCK=180oPMK^+PCK^=180o
mà ˆABC=ˆACBABC^=ACB^
Từ ba điều trên suy ra ˆPMK=ˆPMIPMK^=PMI^ (**)
Xét ΔMIP và ΔMPK ta có:
ˆPMK=ˆPMIPMK^=PMI^ (chứng minh từ (**))
ˆMIP=ˆMPKMIP^=MPK^ (chứng minh từ (*))
⇒ΔMIP∼ΔMPK⇒ΔMIP∼ΔMPK
⇔MIMP=MPMK⇔MIMP=MPMK (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇔MP2=MI.MK⇔MP2=MI.MK
⇒MI.MK.MP=MP3⇒MI.MK.MP=MP3
⇒MI.MK.MP⇒MI.MK.MP lớn nhất ⇔⇔ MPMP lớn nhất
Dựng OD⊥BC,MO∩BC=E⇒ODOD⊥BC,MO∩BC=E⇒OD cố định
⇒MP≤ME⇒MP≤ME
⇒OD≤OE⇒OD≤OE
⇒MP+OD≤ME+OE=MO⇒MP+OD≤ME+OE=MO
⇒MP≤MO−OD=R−OD⇒MP⇒MP≤MO−OD=R−OD⇒MP lớn nhất khi MP=R−ODMP=R−OD
⇒M⇒M nằm chính giữa cung nhỏ BCBC.
VOTE MIK 5 SAO NHE BN
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
FB group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
FB page: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |