a, Xét ∆ABK vuông tại A và ∆IBK vuông tại I có

BK : chung

ABK = CBK (gt)

=>∆ABK = ∆IBK (ch-gn)

=> AB = IB (2 cạnh t/ứ)

Và AK = IK (2 cạnh t/ứ)

b, Xét ∆AIK có AK = IK (cmt)

=>∆AKI cân tại K

=> CAI = KIA (t/c tam giác cân) (1)

Ta có AH ⊥ BC (gt)

KI ⊥ BC (gt)

=>AH // KI

=> HAI = AIK (slt)(2)

Từ (1) và (2)

=> HAI = CAI

Do đó AI là pg HAC

c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)

=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)

Từ AH // KI (cmt)

Suy ra AFK = BKI (slt) (4)

Từ (3) và (4) => AFK = AKB

=>∆AKF cân tại A

CMTT ta có : IFK = IKF

=>∆IKF cân tại I

=> IK = IF (t/c tam giác cân)

Xét ∆IKC vuông tại I có

KC > IK (ch > cgv)

=> KC > IF (5)

Xét ∆ABF và ∆IBF có

BF : chung

ABK = CBK (gt)

BA = IB (cmt)

=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)

=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)

Từ (5) và (6) => KC > AF

d, Xét ∆AIM và ∆AIC có

AI : chung

HAI = CAI (cmt)

AM = AC (gt)

=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)

=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)

Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)

Ta có AM = AC (gt)

=> AF + FM = AK + KC

Mà AK = AF (∆AFK cân tại A -- cmt)

=> FM = KC

Xét ∆FIM và ∆KIC có

FM = KC (cmt)

AMI = ACI (cmt)

MI = IC (cmt)

=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)

=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)

Lại có IF cắt IM tại I

=> IF ⊥ IM tại I